Математика

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

(АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ)

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

Составил кандидат физ.-мат. наук, доцент

Горунович С.А.

МИНСК, 2004

Лекция 1

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

§ 1. МАТРИЦЫ

Понятие матрицы имеет важное значение в экономике и бизнесе, поскольку многие математические модели экономических процессов компактно и без потери наглядности записываются на языке матриц.

Пусть P - множество элементов определенной структуры. Это могут быть, на пример, действительные или комплексные числа. Таблица вида

составленная из элементов множества P , содержащая m строк и n столбцов,

соответствующие элементы, т.е. aij = bij , для всех i = 1,2,..., m и j = 1,2,..., n.

Если m = n, т.е. число её строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной n-го порядка. Элементы a11 ,a22 ,..., ann образуют главную диагональ

квадратной матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все её элементы, кроме элементов главной диагонали, т.е.:

Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единице, то она называется единичной, обозначается буквой E и имеет вид

2

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Возможны два варианта треугольной матрицы:

Матрица А называется треугольной сверху, B – треугольной снизу.

Матрица любого размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой O .

Квадратная матрица называется симметрической, если равны между собой все её элементы, симметричные относительно главной диагонали, т.е. aij = aji для всех i, j = 1,2,..., n .

Особый интерес представляют матрицы, содержащие один столбец или одну строку. Их называют вектором-столбцом, или вектором-строкой

соответственно. Такие матрицы имеют вид:

соответствующих элементов.

3

Пример 1.

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1.коммутативность: A+B=B+A;

2.ассоциативность: (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1.ассоциативность относительно числового множителя: (λµ)A =λ(µA);

2.дистрибутивность относительно суммы матриц: λ(A+B)= λA+λB;

3.дистрибутивность относительно суммы чисел: (λ+µ)A=λA+µB.

Разностью двух матриц A и B называется матрица C=A + (-1) B.

Умножение матриц. Данная операция вводится только для согласованных матриц. Матрица A называется согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B .

элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B.

Пример 3. Даны две матрицы A и B. Вычислить их произведение.

4

Решение. Произведение матриц A B определено, так как матрица A согласована с матрицей B . Не определено произведение B A, поскольку матрица B не согласована с матрицей A. Тогда, в соответствии с определением произведения, получаем, что

Если A и B квадратные матрицы одного размера, то произведение

B A всегда существуют. Матрицы A и B называются перестановочными, если A B = B A. Легко видеть, что A E = E A = A, где A - квадратная матрица, E - единичная матрица того же размера.

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на её столбцы с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается AT . Т.е., если исходная матрица имеет вид

то

5

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:

1.Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице, т.е. (AT )T = A.

2.При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций.

3.Симметрическая матрица не изменяется при транспонировании.

Элементарные преобразования матрицы.

Под элементарными преобразованиями матрицы в дальнейшем будем понимать следующие операции:

1.перестановку двух параллельных строк или столбцов;

2.умножение всех элементов строки или столбца на число, отличное от нуля;

3.прибавление к элементам строки или столбца соответствующих элементов

параллельной строки или столбца, умноженных на некоторое число.

Используя элементарные преобразования, любую матрицу можно привести к канонической матрице, у которой элементы a11 , a22 ,..., arr , где r ≤ min(m,n), равны единице, а все остальные - равны нулю.

6

Лекция 2

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

§ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Итак, пусть дана квадратная матрица A порядка n . Сопоставим ей число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы A, обозначается det A, ∆ или A и вычисляется по определенному правилу. Число n определяет

порядок определителя.

Вчастных случаях это правило имеет вид:

1.n = 1, A = a1 , det A = a1 .

Пример 1. Найти определитель матрицы

Решение.

1− 3 = 1 4 − 2 (−3) = 4 − (−6) = 10 .

24

Определители третьего порядка обычно вычисляются с помощью правила Саррюса, которое символически можно определить так.

Произведение элементов матрицы, которые берутся со знаком плюс –

7

Произведение элементов матрицы, которые берутся со знаком минус –

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Пример 2. Вычислить определитель:

Решение.

det A = 3 1 (−2) + (−2) (−4) 2 + 2 0 1− 2 1 2 − 3 (−4) (0) − 1 (−2) (− 2) =

= −6 + 16 − 4 − 4 = 16 − 14 = 2.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n

Дадим определение определителя n-го порядка матрицы A

В дальнейшем, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.

Определителем n-го порядка квадратной матрицы называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца

8

определителя. Произведения отличаются одно от другого набором элементов. Перед каждым произведением ставится знак "+" или "−".

Определим знак перед произведением. Поскольку в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то

произведение можно записать так:

a1i a2j a3k…ans.

Здесь i, j, k, …, s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й, ... n-й строк, соответственно. Из сказанного выше ясно, что каждое из различных чисел i, j, k, …, s равно какому-либо из чисел 1, 2, ..., n.

Расположенные в данном порядке номера столбцов i, j, k, …, s,

образуют перестановку из чисел 1, 2, ..., n. Всего существует n! различных перестановок из n натуральных чисел.

Инверсией называется взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее предшествует меньшему. Например, в перестановке 4,1,3,6,5 три инверсии, а в перестановке 3,7,4,2,5,6 – шесть инверсий.

Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное.

Тогда произведение a1i a2j a3k…ans берется со знаком "+", если индексы столбцов образуют четную перестановку, и со знаком "−", если - нечетную.

§2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Рассмотрим некоторые наиболее важные свойства определителей.

Свойство 1. При перестановке местами двух параллельных строк или

столбцов определителя его знак меняется на обратный.

Свойство 2. Определитель, содержащий две одинаковых строки или столбца,

равен нулю.

Свойство 3. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на

это число.

Свойство 4. При транспонировании матрицы её определитель не меняет

своего значения.

Свойство 5. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный

новый определитель будет равен исходному.

Свойство 6. Если каждый элемент какой-либо строки или столбца определителя представляем в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель

может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Свойство 7. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца

определителя можно выносить за знак определителя.

9

Введем основные понятия, используемые при вычислении определителей различных порядков.

Минором любого элемента aij квадратной матрицы A порядка n называется определитель матрицы порядка n-1, которая получается из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Обозначение - Mij.

Алгебраическим дополнением любого элемента aij квадратной матрицы A

порядка n называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j -

четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Aij= (-

1)i+j Mij.

Тогда вычисления определителей имеет место частный случай теоремы

Лапласа, который мы сформулируем в виде свойства.

Свойство 8. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Докажем данное свойство на примере определителя 3-го порядка. Имеем

=a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21a32 − a22 a31 ) =

=a11a22 a33 − a11a23 a32 − a12 a21a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 = ∆ .

Пример 3. Вычислить определитель матрицы

Решение. Для вычисления определителя выберем первый столбец, поскольку в нём есть нулевые элементы.

10