Парная регрессия
.pdfПредельная ошибка прогноза, которая в 95 % случаев не будет
превышена, составит:
∆ = таб ∙ = 2,23 ∙ 13,2 = 29,4.
Доверительный интервал прогноза:
|
|
|
= 91,6 ± 29,4; |
|
|
|
|
|
|
= 91,6 − 29,4 = 62,2 руб. ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 91,6 + 29,4 = 121 руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполненный прогноз потребления материалов оказался надежным
= 1 − = 1 − 0,05 = 0,95 , но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза:
|
|
|
121 |
|
= |
|
= |
= 1,95. |
|
|
|
|||
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3
По предприятиям, производящим однородную продукцию, представлена зависимость величины прибыли фирмы у от объема розничной торговли, от численности работников, от доли физического износа основных фондов.
Таблица 1.11
Признак-фактор |
|
Уравнение регрессии |
Средние значения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
фактора |
||
Объем розничной |
|
|
= 11,57 + 1,232 |
|
|
|
1 = 8,54 |
|||
|
|
|
||||||||
торговли (млн. руб) |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заработная плата |
|
|
= 20,48 ∙ 1,012 2 |
|
|
= 9,62 |
||||
|
|
|
||||||||
работников |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предприятия (млн.руб) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доли физического |
|
|
|
|
0,73 |
|
|
3 = 2,46 |
||
|
|
|
= 1,37 + |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
износа основных |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
фондов 3(%) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется:
1.Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.
2.Ранжировать их по силе влияния.
21
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Для уравнения степенной зависимости |
= 11,57 + 1,232 |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Э |
|
= ′ |
|
|
|
|
= ∙ ∙ |
|
|
−1 ∙ |
|
|
|
|
= = 1,23%, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∙ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Для уравнения показательной зависимости |
|
|
= 20,48 ∙ 1,012 2 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= ∙ |
|
|
2 ∙ ln ∙ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Э |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= ln ∙ |
|
|
|
= ln 1,012 ∙ 9,62 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0,11% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для уравнения равносторонней гиперболы |
|
|
= 1,37 + |
0,73 |
: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Э |
|
|
= ′ |
|
3 |
= − |
|
∙ |
|
|
|
|
1 |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
0,73 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
3 + |
|
|
1,37 ∙ 2,46 + 0,73 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=−0,18%
2.Сравнивая значения Э , ранжируем по силе их влияния на стоимость единицы продукции:
а) Э 1 = 1,23%; в) Э 2 =0,11%; б) Э 3 = −0,87%;
Для формирования величины прибыли первоочередное значение имеет объем розничной торговли; в гораздо меньшей степени влияет доля физического износа основных фондов. Фактором снижения прибыли выступает заработная плата работников предприятия: с ростом ее на 1%
величина прибыли снижается на – 0,18%.
Пример 4
Зависимость потребления сырокопченой колбасы от среднедушевого дохода по данным 30 семей характеризуется следующим образом:
-уравнение регрессии = 5 ∙ 0,6;
-индекс корреляции = 0,93;
-остаточная дисперсия ост2 = 0,08.
Требуется
Провести дисперсионный анализ полученных результатов.
22
Решение
Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице 1.12
Таблица 1.12
Вариация |
Число степеней |
|
Сумма |
|
|
Дисперсия |
факт |
|
табл |
|||
результата y |
свободы |
|
|
|
квадратов |
на одну |
|
|
=0,05 |
|||
|
|
|
|
|
отклонений, S |
степень |
|
|
1 = 1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы, |
|
|
2 = 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Общая |
= − 1=29 |
17,14 |
|
|
- |
|
- |
|
- |
|||
Факторная |
1 = = 1 |
14,74 |
|
|
14,74 |
|
179,25 |
|
4,20 |
|||
Остаточная |
2=n-m-1=28 |
2,4 |
|
|
0,085 |
|
- |
|
- |
|||
|
|
|
|
= 2 ∙ = 0,08 ∙ 30 = 2,4; |
|
|
|
|||||
|
|
|
ост |
|
ост |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= : |
|
1 − 2 |
= 2,4: |
1 − 0,86 = 17,14; |
|
|||||
|
общ |
|
ост |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
факт = общ − ост = 17,14 − 2,4 = 14,74; |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
0,8649 |
|
|
|
|
||
|
факт = |
|
|
|
∙ − 2 |
= |
|
|
∙ 28 = 179,25. |
|
||
|
|
1 − 2 |
|
1 − 0,8649 |
|
|||||||
В силу того что факт = 179,25 > табл = 4,2, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия
существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо,
показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления сырокопчѐной колбасы от среднедушевого дохода.
23
1.3 Задачи для решения в аудитории
Задача 1
По территории Уральского района известны данные за 2010 год.
( табл.1.13)
|
|
Таблица 1.13 |
|
|
|
|
|
Район |
Доля денежных |
Среднемесячная |
|
|
доходов, |
начисленная |
|
|
направленных на |
заработная плата, |
|
|
прирост сбережений |
тыс. руб., x |
|
|
во вкладах в общей |
|
|
|
сумме |
|
|
|
среднедушевого |
|
|
|
денежного дохода, %, |
|
|
|
y |
|
|
Башкортостан респ. |
100 |
9 |
|
Удмуртская респ. |
200 |
6 |
|
Курганская обл. |
300 |
5 |
|
Оренбургская обл. |
400 |
4 |
|
Пермская обл. |
500 |
3,7 |
|
Требуется
1.Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2.Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной парной регрессии.
3.Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации для каждой модели.
4.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений каждой модели.
5.С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3, 4 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
24
Задача 2
Изучается зависимость количестватоваров, произведенных с дефектом, от объема сверхурочных часов по 10 однородным заводам за 2012 год.
Данные представлены в табл.1.14 Уравнение регрессии: = 1,88 + 7,73 ∙
, = 0,97.
|
Количество |
Объем |
|
|
|
|
№ |
товаров, |
|
|
|
||
сверхурочных |
xy |
2 |
2 |
|||
завода |
произведенных с |
|||||
часов, час., х |
|
|
|
|||
|
дефектом,шт., у |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
1 |
23 |
2,8 |
64,4 |
7,84 |
529 |
|
2 |
14 |
1,3 |
18,2 |
1,69 |
196 |
|
3 |
28 |
3,5 |
98 |
12,25 |
784 |
|
4 |
10 |
0,9 |
9 |
0,81 |
100 |
|
5 |
32 |
3,9 |
124,8 |
15,21 |
1024 |
|
6 |
15 |
1,7 |
25,5 |
2,89 |
225 |
|
7 |
37 |
4,1 |
151,7 |
16,81 |
1369 |
|
8 |
25 |
3,2 |
80 |
10,24 |
625 |
|
9 |
16 |
2,1 |
33,6 |
4,41 |
256 |
|
10 |
19 |
2,4 |
45,6 |
5,76 |
361 |
|
Сумма |
219 |
25,9 |
650,8 |
77,91 |
5469 |
|
Ср.значе |
21,9 |
2,59 |
65,08 |
7,791 |
546,9 |
|
н |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
8,2 |
1,03 |
|
|
|
|
2 |
67,29 |
1,08 |
|
|
|
Требуется:
1.Оценить статистическую значимость параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента.
2.Выполнить прогноз количества товаров, произведѐнных с дефектом у при прогнозном значении сверхурочных часов х, составляющем 112% от среднего уровня.
3.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости = 0,05.
25
Задача 3
Анализируется зависимость стоимость продукции предприятий отрасли черной металлургии у от объѐма продукции, от затрат труда, расходов чугуна и расходов на электроэнергию, представленная в табл1.15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Признак-фактор |
Уравнение регрессии |
|
|
Средние значения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
фактора |
|
|
|
|
Объем продукции |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
= 5,28 |
|
|
|
= 0,54 + 42,12 ∙ |
|
|
|
|||||
предприятия (млн. руб) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Численность рабочих |
|
|
= 7,30 + 10,65 ∙ |
|
|
|
|
= 3,18 |
|||
2 |
|
|
2 |
||||||||
предприятия ( чел) 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затраты чугуна за |
|
|
= 13,39 + 1,723 |
|
|
3 |
= 2,94 |
||||
|
|
|
|||||||||
год(млн. руб) 3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затраты на |
|
|
= 18,51 ∙ 1,042 4 |
|
|
|
|
= 23,2 |
|||
|
|
|
4 |
||||||||
электроэнергию(млн. |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
руб) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется:
3.Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.
4.Ранжировать по силе влияния.
Задача 4
По совокупности 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: х – цена на российский сыр, тыс., руб.; у – прибыль завода.млн.,
руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:
уравнение регрессии: = 2 0,7
− 2 = 3,82
( − )2 = 5,16
Требуется
1.Найти индекс корреляции.
2.Провести дисперсионный анализ полученных результатов.
26
1.4 Задачи для домашней работы
Задача5
По территории Уральского района известны данные за 2010 год.
( табл. 1.16)
Район |
Доля денежных |
Среднемесячная |
|
доходов, |
начисленная |
|
направленных на |
заработная плата, |
|
прирост сбережений |
тыс. руб., x |
|
во вкладах в общей |
|
|
сумме |
|
|
среднедушевого |
|
|
денежного дохода, %, |
|
|
y |
|
Башкортостан респ. |
100 |
0,11 |
Удмуртская респ. |
200 |
0,17 |
Курганская обл. |
300 |
0,20 |
Оренбургская обл. |
400 |
0,25 |
Пермская обл. |
500 |
0,27 |
Требуется
1.Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2.Рассчитайте параметры уравнений гиперболической парной регрессии.
3.Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации для каждой модели.
4.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений каждой модели.
5.С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3, 4 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
27
Задача 6
Зависимость потребительских расходов в расчете на душу населения от средней заработной платы характеризуется моделью: = + + 2. Ее
использование привело к результатам, представленных в табл1.17
|
|
Таблица 1.17 |
|
|
|
|
|
№ п/п |
Потребительские расходы в расчете на душу |
|
|
|
населения, тыс. руб., у |
|
|
|
фактическая |
расчетная |
|
1 |
12 |
10 |
|
2 |
8 |
10 |
|
3 |
13 |
13 |
|
4 |
15 |
14 |
|
5 |
16 |
15 |
|
6 |
11 |
12 |
|
7 |
12 |
13 |
|
8 |
9 |
10 |
|
9 |
11 |
10 |
|
10 |
9 |
9 |
|
Требуется
Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.
Задача 7
Изучалась зависимость потребления импортного сырья от изменения цены. Зависимость представлена в виде в следующем виде: = + 2. При этом были получены следующие данные:
= 6,8345; |
= 7,4390; |
2 = 14,239 ; |
= 2,249; |
( − )2 |
= 0,0163. |
|
|
Требуется
1. Найдите параметр b.
2. Найдите показатель корреляции, предполагая 2 = 16,09. Оцените его
значимость, если известно, что n=10.
28
Задача 8
Зависимость спроса на яблоки от цены характеризуется по 30
наблюдениям уравнением: lg = 5,79 − 0,11 lg . Остаточная сумма квадратов отклонений составила 8,38. Общая сумма квадратов отклонения равна 2,53.
Требуется
1.Запишите данное уравнение в виде степенной функции.
2.Оцените эластичность спроса на яблоки в зависимости от их цены.
3.Определите индекс корреляции.
4.Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера.
Сделайте выводы.
Задача 9
По группе предприятий, производящих однородную продукцию,
известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов,
приведенных в табл 1.18
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Признак-фактор |
Уравнение регрессии |
|
|
|
Средние значения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фактора |
|||||
Объем производства |
|
|
|
= 18,25 + 1,294 |
|
|
|
|
1 = 52,95 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
(млн. руб) 1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Трудоемкость единицы |
|
|
|
= 25,71 ∙ 3,26 2 |
|
|
|
= 17,42 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
продукции, (чел-час) 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||
Оптовая цена за 1 т. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 = 35,76 |
||
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
энергоносителя,(млн. |
|
23,83 + 5,13 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
руб) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доля прибыли, |
|
|
= 42,52 + 19,21 ln |
|
|
|
|
|
= 3,87 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
изымаемой |
4 |
|
|
|
|
4 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государством(%) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потери рабочего |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 = 0,49 |
|
|
|
|
= 0,92 + 36,81 ∙ |
|
|
|
|
||||||||
времени (час) 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.
2.Ранжировать по силе влияния.
29
Задача 10
Зависимость объема производства (у) от численности занятых (х) по 10
заводам концерна характеризуется следующим образом:
Уравнение |
= 0,9 1,2 |
||
|
|
|
|
|
= 0,281, 2 |
= 0,02 |
|
|
|
ост |
|
Требуется
1. Провести дисперсионный анализ полученных результатов.
30