10.5.3.Второй дифференциал функции. Матрица Гессе

Вернемся к формуле (25). Она означает, что второй дифференциал является квадратичной формой от переменных . Как известно из курса алгебры, квадратичной форме сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемом случае имеющая вид _, где все производные вычислены в рассматриваемой точке и называемая иногда матрицей Гессе.

§.10.6.Формулы Тейлора.

Теорема 10.7.Пусть функция , имеет непрерывные производные до порядка включительно в окрестности точкии непрерывные производные порядкав. Тогда для любой точки существует число,такое, что (29) ,

где все дифференциалы вычислены при .

►Соединим в пространстве точку с точкойпрямолинейным отрезком; запишем параметрические уравнения этого отрезка: любая его точкаимеет вид

(30) .

При получаем, приполучаем.

Рассмотрим функцию одной переменной , определенную на отрезке. Уравнение (30) имеет вид уравнения (28).

Поэтому, при вычислении получаем, в соответствии с (26), что,, ₍₃₁₎

Осталось применить к функции теорему 7.5:

(32)

Подставляя в (32) равенства (31), получаем утверждение теоремы.◄

Теорема 10.8. Пусть функция имеет непрерывные производные до порядкавключительно вточки. Тогда, где . (33)

►Для доказательства достаточно использовать теорему 10.7.с заменой числа числом :

(34)

и заметить, что представляет собой конечную сумму слагаемых вида

.

По условию теоремы, все производные до порядка включительно непрерывны в окрестности , поэтому применима теорема 10.6 и, кроме того,

,

где

.

Таким образом,можно представить в виде

и суммы конечного числа слагаемых вида .Так как

и,каждое слагаемое представляет собой , при _.

Это верно и для суммы конечного числа таких слагаемых.◄