- •Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§10.1. Дифференцируемость функции многих переменных
- •10.1.1.Определение дифференцируемости функции многих переменных. Частные производные
- •10.1.2. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных
- •§10.2. Дифференциал функции многих переменных и дифференциал отображения
- •10.2.1. Дифференциал функции многих переменных
- •10.2.2 Дифференциал отображения
- •§10.3. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Свойства матрицы Якоби
- •10.3.1. Производная сложной функции
- •10.3.2. Инвариантность формы первого дифференциала
- •10.3.3. Свойства матрицы Якоби. Якобиан
- •§10.4.Геометрические приложения
- •10.4.1. Касательная плоскость
- •10.4.2. Производная по направлению, градиент
- •§10.5.Производные и дифференциалы высших порядков
- •10.5.1. Производные высших порядков
- •10.5.2. Дифференциалы высших порядков
- •10.5.3.Второй дифференциал функции. Матрица Гессе
§10.2. Дифференциал функции многих переменных и дифференциал отображения
10.2.1. Дифференциал функции многих переменных
Пусть определена в некоторой окрестности точки, и пусть в этой точке существуют,.
Определение. Линейная функция от независимых переменныхвида
(6) называется дифференциалом в точкеи обозначается.
Каждую из независимых переменных ,можно рассматривать как функцию, причем,, а для любогои любогоимеем.
Тогда, последовательно выбирая ,, получаем
. (7)
Подставляя в (6) вместо величинусогласно (7), получаем более часто употребляемую запись дифференциала:
. (8)
Обычно величинам переменных придают значенияприращений независимых переменных, не входящих при добавлениик рассматриваемой точке за границу рассматриваемой области. Независимость переменныхозначает, что если взять какое-то приращение, то оно не меняется при переходе от одной точки области к другой (а для зависимых переменных переход к другой точке вызывает соответствующие изменения вектора).
Поэтому выражение (8) можно заменить на
(9)
для независимых переменных (для них, напомним еще раз,).
Вспомним определение дифференцируемой функции: ее приращение имело вид
, (10)
где при.
Согласно (9), равенство (10) можно переписать в виде
. (11)
Оно означает, что если среди чисел есть отличное от нуля, топредставляет собой главную, притом линейную по, часть приращения.
Определим (пока формально) вектор градиента
.
Тогда дифференциал можно рассматривать, как скалярное произведение в векторов градиента и вектора :
).
Вектор градиента служит обобщением понятия производной функции одной переменной. Напомним, что .
10.2.2 Дифференциал отображения
Для отображения пространства в пространство , состоящего из дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал . При этом
.
Матрица ,определённая равенством
,
называется матрицей Якоби отображения .
§10.3. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Свойства матрицы Якоби
10.3.1. Производная сложной функции
Допустим, что дифференцируемая в точкефункция,и, причем– дифференцируемые в точкефункции. Положим. Тогда , где при.
В определении дифференцируемости можно доопределить функции в точке, положив. Тогдапри(причём, может быть, и принимает значения ). Но тогда(так каку нас доопределены в точкенулем) и, таким образом,
(12)
Рассмотрим теперь случай, когда . Применяя полученное выше правило, получим, в очевидных обозначениях (13)
Равенства (12) и (13) дают правила вычисления производных сложных функций.
10.3.2. Инвариантность формы первого дифференциала
Следствием правил вычисления производных сложных функций
является инвариантность формы первого дифференциала. Именно, пусть . Тогда.
Инвариантность формы первого дифференциала означает, что как в случае независимых переменных , так и в случае зависимых переменных для вычисления дифференциала применима формула .