§10.5.Производные и дифференциалы высших порядков

10.5.1. Производные высших порядков

Если функция обладает в некоторой окрестности точкичастной производной по переменной, а эта частная производная, рассматриваемая как функция от ,в свою очередь ,пусть имеет частную производную по переменной в точке _, которая обозначается .Эту производную называют частной производной второго порядка , причём при ,еёназывают смешанной производной второго порядка по переменным .

Далее индуктивным образом можно определить частные производные более высокого порядка.

Возникает вопрос, зависит ли величина смешанной производной по переменным от порядка, в котором рассматриваются переменные. Например, всегда ли ?

Ответ на него такой: нет, не всегда! Можно показать, что функция

имеет неравные производные и. Однако имеет место следующая теорема.

Теорема 10.5. Пусть определена в открытой области и пусть в этой области существуют . Пустьинепрерывны в точке . Тогда в этой точке

►Пусть числа такие, что областьсодержит все точки из прямоугольника со сторонами отдои отдо. Пусть

.

Положим

, ,

тогда

.

В промежутке , по условию теоремы, функцияимеет производную. И, значит, непрерывна, причем по теореме Лагранжа

(вновь по теореме Лагранжа)

, где ,.

С другой стороны, аналогично, получаем

, где ,. Следовательно, устремляя к, получаем, ввиду непрерывности =.◄

Замечание. По аналогии можно доказать следующую теорему.

Теорема 10.6. Пусть определена в открытой области и имеет в этой области всевозможные частные производные до-го порядка включительно и смешанные производные-го порядка, причем все эти производные непрерывны в . При этих условиях значение любой-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.

Например, и т.п.

10.5.2. Дифференциалы высших порядков

Пусть - имеет непрерывные производные в области . Тогда .

При этом, если - независимые переменные, то можно считать постоянными величинами, не зависящими от. Поэтому ,.

Пусть имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению

Здесь мы воспользовались тем, что .Например, при

, (19)

при .(20)

Приведённая формула уже при выглядит громоздко.Облегчить запоминание поможет формальная операторная запись. Например, при _{рассмотрим выражение}

, (21)

правая часть которого получается возведением в квадрат левой части при использовании обозначений

.Сравнивая выражения (19) и (21) мы видим, что первое из них получится из второго, если заменить в (21) выражения

(22)

соответственно, выражениями

. (23)

Отметим, что выражения (23) получаются из (22) символическим умножением на. Это позволяет нам, учитывая (19), (21), (22) и (23) получить удобную для запоминания операторную запись

. (24)

В общем случае, используя формальную операторную запись, получаем

. (25)

Аналогично, полагая , находим:

. (26)

В предположении, что для существуют частные производные до - го порядка включительно.

Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по . Мы не будем подробно останавливаться на этом.

Отметим, что если (т.е. переменныене независимые, а представляют собой функции от других переменных), то , вообще говоря, они не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула сохраняется, уже в формулах (19) и (20) (не говоря о (25) и (26)) следует внести изменения.

Именно, вместо (25) в этом случае верна формула (27).

«Добавок» по отношению к (25) получается, из-за того (см. вывод (19)), что в нашем случае .

Однако, если

(28),

то и. Поэтому в случае линейной замены переменных (28) формулы (25) и (26) сохраняются.