МРОСРС (Ч1) Математика (Менеджмент) бак 2011

такого числа годных подшипников среди 100 изготовленных.

6. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.7.

6.1. Исследуется зависимость между количеством X покупателей в ювелирном магазине и количеством Y проданных товаров. За 10 дней наблюдения получены следующие данные:

Оцените тесноту и направление между количеством покупателей в магазине и количеством проданных товаров с помощью выборочного коэффициента корреляции. Оцените значимость корреляции между рассматриваемыми переменными с надежностью 0,95.

6.2. По результатам тестирования школьников по чтению и арифметике на основе набранных баллов получены следующие данные:

Оцените тесноту и направление связи между знаниями школьника по чтению и по арифметике с помощью выборочного коэффициента корреляции. Оцените значимость связи между рассматриваемыми переменными с надежностью 0,99.

6.3. Туристическую фирму крупного курортного города интересует связь между числом Y отпускников, останавливающихся в отелях, и расходами X

на рекламу отелей. Взято случайно шесть отелей, сходных по размеру и сервису. Была собрана следующая информация за текущий сезон:

41

(тыс. чел.)

Используя полученные данные, необходимо вычислить выборочный коэффициент корреляции, проанализировать степень тесноты и направление связи между изучаемыми переменными. Требуется также проверить гипотезу о существенности зависимости между переменными при уровне значимости 0,05.

6.4. В условиях предыдущей задачи построить регрессионную модель зависимости числа отпускников, останавливающихся в отеле, от размера рекламы на отель. Если в следующем сезоне на рекламу отеля будет затрачено 11 000 у.е., то каково будет ожидаемое число гостей отеля?

2.3.3. Материалы для самопроверки знаний студентов, обучающихся на базе среднего полного (общего) образования (5 лет).

1. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.2.

2. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.3.

x 2 y z 1

2.1. Решить систему уравнений 2x y z 5

x 3y 2z 2

42

x 2 y 3z 6

2.2. Найти главный определитель системы 3x y 3z 14

x 2 y 2z 3

x y 2z 4

2.4. Решить систему уравнений 2x y 3z 1

x 2 y 2z 6

3. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.6.

3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x 3 и y x 2 5x 5

4. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.2.

4.1. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их,

равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,99, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

4.2. В автопарке имеется 200 автомобилей, причем вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,9. С вероятностью 0,95 определить границы, в

которых будет находиться доля безотказно работающих машин в определенный момент времени.

4.3. С конвейера сходит в среднем 85% изделий высшего сорта. Сколько

43

изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,95 отклонение частоты изделий высшего сорта, сходящих с конвейера, от 0,85 по модулю не превышало 0,01?

4.4. В автопарке 70 машин. Вероятность поломки каждой машины равна 0,2,

причем ломаются они независимо друг от друга. Найти наивероятнейшее число исправных машин в автопарке и вероятность того, что в автопарке будет такое число машин.

4.5. На факультете 356 студентов. Какова вероятность того, что по крайней мере у 25 из них день рождения в марте?

5. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.3.

5.1. Ошибка показаний весов при измерении веса складывается из систематической ошибки весов, равной 75 гр., и случайной ошибки измерения,

имеющей нормальное распределение со средним значением 50 гр. и

дисперсией 900 гр2. Определить среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение ошибки показаний весов.

5.2. Изделие считается высшего качества, если отклонение его размера от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,5 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта,

если изготовлено четыре изделия.

5.3.При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

5.4.Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение от проектного размера по модулю не превышает 0,7 мм. Каково наивероятнейшее число годных подшипников среди 100 изготовленных, если с.в.

распределена нормально с параметром = 0,4 мм? Определить вероятность

44

такого числа годных подшипников среди 100 изготовленных.

6. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.7.

6.1. Исследуется зависимость между количеством X покупателей в ювелирном магазине и количеством Y проданных товаров. За 10 дней наблюдения получены следующие данные:

Оцените тесноту и направление между количеством покупателей в магазине и количеством проданных товаров с помощью выборочного коэффициента корреляции. Оцените значимость корреляции между рассматриваемыми переменными с надежностью 0,95.

6.2. По результатам тестирования школьников по чтению и арифметике на основе набранных баллов получены следующие данные:

Оцените тесноту и направление связи между знаниями школьника по чтению и по арифметике с помощью выборочного коэффициента корреляции. Оцените значимость связи между рассматриваемыми переменными с надежностью 0,99.

6.3. Туристическую фирму крупного курортного города интересует связь между числом Y отпускников, останавливающихся в отелях, и расходами X

на рекламу отелей. Взято случайно шесть отелей, сходных по размеру и сервису. Была собрана следующая информация за текущий сезон:

45

(тыс. чел.)

Используя полученные данные, необходимо вычислить выборочный коэффициент корреляции, проанализировать степень тесноты и направление связи между изучаемыми переменными. Требуется также проверить гипотезу о существенности зависимости между переменными при уровне значимости 0,05.

6.4. В условиях предыдущей задачи построить регрессионную модель зависимости числа отпускников, останавливающихся в отеле, от размера рекламы на отель. Если в следующем сезоне на рекламу отеля будет затрачено 11 000 у.е., то каково будет ожидаемое число гостей отеля?

РАЗДЕЛ 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ К ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ

Видами промежуточной аттестации студентов, обучающихся на заочной форме по направлению 080200 «Менеджмент», профилю «Менеджмент организации» (3,5, 4 и 5 лет обучения) являются: 2 итоговые контрольные работы, зачет, экзамен.

Методические указания по выполнению итоговых контрольных работ представлены в части 2 Методического руководства.

3.1. Список вопросов для подготовки к экзамену (зачету).

Список вопросов для подготовки к экзамену соответственно включает в себя позиции перечня с 1 по 52 включительно. При подготовке к зачету необходимо освоить вопросы с 53 по 86.

1.Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами.

Орты. Разложение вектора по ортам. Координаты вектора.

2.Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами.

Условия ортогональности (перпендикулярности) векторов.

3.Векторное произведение векторов. Геометрический смысл. Вычисление векторного произведения. Условия коллинеарности векторов.

46

4.Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл.

Вычисление смешанного произведения. Условие компланарности векторов.

5.Деление отрезка в отношении .

6.Прямая на плоскости: канонические уравнения. Уравнение прямой,

проходящей через две точки. Общее уравнение прямой и геометрический смысл его коэффициентов, уравнение прямой, проведенной через точку перпендикулярно заданному вектору, уравнение прямой «в отрезках»,

уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми. Формула расстояния от точки до прямой на плоскости.

7.Плоскость: общее уравнение плоскости и геометрический смысл его коэффициентов, уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки,

уравнение плоскости «в отрезках». Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Формула расстояния от точки до плоскости.

8.Прямая в пространстве: параметрические, канонические, общие уравнения.

Связь между общими и каноническими уравнениями. Уравнения прямой,

проходящей через две точки. Угол между прямыми. Условия параллельности

иперпендикулярности прямых.

9.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

10.Матрицы и действия над ними.

11.Обратная матрица и ее свойства. Критерий существования обратной матрицы. Алгоритм нахождения.

12.Ранг матрицы. Свойства рангов. Алгоритм нахождения.

13.Определители и их свойства. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Вычисление определителей n-го порядка.

14.Системы линейных уравнений (СЛУ). Основные понятия и определения.

47

Решение СЛУ с квадратной невырожденной матрицей.

15.Теорема Кронекера-Капелли.

16.Метод Гаусса решения СЛУ.

17.Множества. Способы задания множеств. Операции над множествами.

Множества натуральных, целых, вещественных чисел. Комплексные числа.

Действия над ними.

18.Функция. Область определения и множество значений. Способы задания.

Основные свойства функций.

19.Определение предела функции по Коши. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке.

20.Основные теоремы о пределах.

21.Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых. Виды неопределенностей.

22.Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

23.Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов

24.Определение функции непрерывной в точке. Односторонняя непрерывность.

25.Основные свойства непрерывных функций.

26.Точки разрыва и их классификация.

27.Определение производной функции в точке. Ее геометрический и физический смысл.

28.Уравнения касательной и нормали.

29.Теорема о связи между непрерывностью функции в точке и дифференцируемостью функции.

30.Правила вычисления производной от суммы, разности, произведения,

частного функций.

31.Таблица производных.

32.Производная сложной функции.

33.Логарифмическая производная.

34.Производные высших порядков.

35.Дифференциал функции и его геометрический смысл.

48

36.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

37.Правила Лопиталя.

38.Формула Тейлора.

39.Исследование функций: признак монотонности функции; необходимые и достаточные условия экстремума функции в точке; вогнутость и выпуклость функции, точки перегиба; асимптоты функции. Общая схема исследования функции одной переменной.

40.Понятие первообразной функции. Теорема об общем виде первообразной.

Неопределенный интеграл.

41.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

42.Приемы интегрирования: непосредственное интегрирование, методы подстановки и подведения под знак дифференциала.

43.Интегрирование по частям.

44.Интегрирование элементарных дробей.

45.Интегрирование рациональных дробей.

46.Определенный интеграл и его геометрический смысл.

47.Основные свойства определенного интеграла.

48.Формула Ньютона-Лейбница.

49.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

50.Несобственный интеграл I рода.

51.Несобственный интеграл II рода.

52.Вычисление площадей плоских фигур.

53.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

54.Устойчивость относительных частот и статистическое определение вероятности.

55.Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

56.Теорема умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.

57.Формула полной вероятности.

58.Формула Байеса.

59.Повторение независимых испытаний (схема Бернулли) и формула Бернулли.

49

60.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Свойства функций

(х), (х).

61.Вероятность отклонения относительной частоты (доли) появления некоторого события в серии из независимых испытаний.

62.Предельная теорема Пуассона.

63.Функция распределения случайной величины: определение и свойства.

64.Дискретные случайные величины и закон распределения дискретной случайной величины.

65.Непрерывные случайные величины и закон распределения непрерывной случайной величины.

66.Биномиальный закон распределения.

67.Равномерное распределение случайной величины: плотность и функция распределения, их графики.

68.Нормальное распределение случайной величины: плотность и функция распределения, их графики.

69.Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток. Правило «трех сигм».

70.Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины и его свойства.

71.Дисперсия случайной величины и ее свойства; среднее квадратическое

(стандартное) отклонение.

72.Математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия биномиального,

равномерного и нормального распределения (без доказательства).

73.Предмет и распределения математической статистики.

74.Генеральная совокупность и выборка. Ряд распределения выборки, полигон частот. Эмпирическая функция распределения, гистограмма.

75.Точечное оценивание параметров распределения. Свойства оценок. Метод нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия.

76.Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии в случае выборки из

50