МРОСРС (Ч1) Математика (Менеджмент) бак 2011
.pdfПо результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Невырожденная матрица, матрица системы линейных уравнений,
главный определитель системы, метод Крамера.
Тема 1.6.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Геометрические приложения определенного интеграла, площадь фигуры,
ограниченной графиками двух функций, несобственный интеграл первого рода,
несобственный интеграл второго рода.
Тема 2.2.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Частота события, функция Лапласа, закон больших чисел, центральная предельная теорема.
Тема 2.3.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Правило «трех сигм», ковариация случайных величин, коэффициент корреляции, свойства коэффициента корреляции, связь коэффициента корреляции с независимостью случайных величин.
Тема 2.7.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Регрессия, поле рассеяния, уравнение регрессии, коэффициенты
31
регрессии, выборочный коэффициент корреляции, точечный прогноз среднего значения, точечный прогноз индивидуального значения, интервальный прогноз индивидуального значения.
2.2.3 Основные понятия и определения, необходимые студенту, обучающемуся на базе среднего общего (полного) образования (5 лет), для усвоения тем,
подлежащих самостоятельному изучению Тема 1.2.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Определители (различных порядков), разложение определителя по строке, разложение определителя по столбцу, свойства определителей,
обратная матрица, условия существования обратной матрицы, различные методы вычисления обратной матрицы, алгебраическое дополнение к элементу матрицы.
Тема 1.3.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Невырожденная матрица, матрица системы линейных уравнений,
главный определитель системы, метод Крамера.
Тема 1.6.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Геометрические приложения определенного интеграла, площадь фигуры,
ограниченной графиками двух функций, несобственный интеграл первого рода,
несобственный интеграл второго рода.
Тема 2.2.
32
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Частота события, функция Лапласа.
Тема 2.3.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Правило «трех сигм», ковариация случайных величин, коэффициент корреляции, свойства коэффициента корреляции, связь коэффициента корреляции с независимостью случайных величин.
Тема 2.7.
По результатам самостоятельного изучения темы студентом должны быть систематизированы и закреплены знания следующих основных понятий и определений:
Регрессия, поле рассеяния, уравнение регрессии, коэффициенты регрессии, выборочный коэффициент корреляции, точечный прогноз среднего значения, точечный прогноз индивидуального значения, интервальный прогноз индивидуального значения.
2.3. Материалы для самопроверки знаний
2.3.1. Материалы для самопроверки знаний студентов, обучающихся на базе среднего специального образования (3,5 года).
1. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.2.
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. Вычислить определитель матрицы |
A |
2 |
2 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.2. Решить уравнение |
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
|
|
|
|
|
1 |
2 |
, |
4 |
1 |
|||||
1.3. Вычислить определитель матрицы AB , если A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.4. Вычислить минор M11 матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.5. Вычислить определитель A 1 , если матрица |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.3.
x 2 y z 1
2.1. Решить систему уравнений 2x y z 5
x 3y 2z 2
x 2 y 3z 6
2.2. Найти главный определитель системы 3x y 3z 14
x 2 y 2z 3
2.3. Найти x 2y 2 , где x и y – решение системы x 4 y 6
2x y 5
x y 2z 4
2.4. Решить систему уравнений 2x y 3z 1
x 2 y 2z 6
3. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.4.
3.1. Найти правосторонний предел для функции |
x2 2, |
x 2, |
в точке х=2 |
|
||||||||
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x 1, |
x 2 |
|
|
|
|
3.2. Вычислить предел lim |
x2 3x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
2x 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.3. Чему равно значение предела lim |
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.4. Формула n-го члена числовой последовательности имеет вид |
xn |
n |
, |
|||||||||
|
||||||||||||
n2 1 |
||||||||||||
34
найти x4
3.5. Найти точки разрыва функции |
x 1, |
если x 1, |
, если они существуют, |
y x |
|
||
|
x 1, |
если x 1 |
|
иуказать характер разрыва
4.Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.5.
4.1. Написать уравнение касательной к графику функции y x3 5x2 4x 1 в
точке х=1
4.2. Записать уравнение нормали к графику функции y 3x 2 2x 5 в точке х=-1
4.3. Найти дифференциал функции |
y |
cos x |
|
||
1 sin x |
4.4.Записать производную второго порядка функции y x2 sin x
4.5.Для функции y ln x2 2x записать дифференциал второго порядка
5.Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.6.
5.1. Записать в виде |
интеграла |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
y x 2 и y x 2 2x 12 |
|
|
|
|
|
5.2. Записать в виде |
интеграла |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линией |
y x2 x 2 и осью Ох. |
|
|
|
|
|
dx
5.3.Вычислить 1 x 2
1
5.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x 3 и y x 2 5x 5
6. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.2.
6.1. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их,
равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,99, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более
35
чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
6.2.В автопарке имеется 200 автомобилей, причем вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,9. С вероятностью 0,95 определить границы, в
которых будет находиться доля безотказно работающих машин в определенный момент времени.
6.3.С конвейера сходит в среднем 85% изделий высшего сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,95 отклонение частоты
изделий высшего сорта, сходящих с конвейера, от 0,85 по модулю не превышало 0,01?
6.4. В автопарке 70 машин. Вероятность поломки каждой машины равна 0,2,
причем ломаются они независимо друг от друга. Найти наивероятнейшее число исправных машин в автопарке и вероятность того, что в автопарке будет такое число машин.
6.5. На факультете 356 студентов. Какова вероятность того, что по крайней мере у 25 из них день рождения в марте?
7. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.3.
7.1. Ошибка показаний весов при измерении веса складывается из систематической ошибки весов, равной 75 гр., и случайной ошибки измерения,
имеющей нормальное распределение со средним значением 50 гр. и
дисперсией 900 гр2. Определить среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение ошибки показаний весов.
7.2. Изделие считается высшего качества, если отклонение его размера от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,5 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта,
если изготовлено четыре изделия.
7.3. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные
36
нормальному закону с параметром = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.
7.4. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение от проектного размера по модулю не превышает 0,7 мм. Каково наивероятнейшее число годных подшипников среди 100 изготовленных, если с.в.
распределена нормально с параметром = 0,4 мм? Определить вероятность такого числа годных подшипников среди 100 изготовленных.
8. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.5.
8.1. Для настройки технологической линии электролампового завода произведена случайная выборка в количестве 100 ламп из дневной выработки завода. Средняя продолжительность горения ламп в выборке оказалась равной
356 часов. Предполагая продолжительность горения электролампочки нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 24 часа, с надежностью 0,95 найти доверительный интервал для средней продолжительности горения лампочки во всей дневной выработке завода.
8.2. С помощью случайной выборки изучалось время выполнения производственной операции рабочими бригады. На основании 50 наблюдений установлено, что в среднем на выполнение операции затрачивалось 0,5 часа при среднем квадратическом отклонении 10 мин. Считая время выполнения производственной операции нормально распределенной случайной величиной,
определить границы, в которых находится среднее время выполнения операции всех рабочих с доверительной вероятностью: а) 0,95; б) 0,99.
8.3. Службой контроля проверен расход электроэнергии в течение месяца в 10
наудачу выбранных квартирах многоквартирного дома, в результате чего были получены следующие значения (кВт-ч): 125, 86, 104, 140, 90, 55, 125, 98, 64,
102. Предполагая расход электроэнергии в квартире нормально распределенной случайной величиной, с надежностью 0,95 построить доверительные
37
вероятности для оценки:
а) среднего расхода электроэнергии в доме;
б) дисперсии и стандартного отклонения расхода электроэнергии в доме. 8.4. При формировании для фирмы портфеля поставок был произведен случайный отбор 100 поставщиков, которые осуществляли поставки сырья в прошлом году.
Для процента несвоевременно отгрузивших сырье поставщиков необходимо определить с надежностью 0,99 доверительный интервал, если в выборке оказалось 20 таких поставщиков.
2.3.2. Материалы для самопроверки знаний студентов, обучающихся на базе среднего специального образования (4 года).
1. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.2.
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. Вычислить определитель матрицы A |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Решить уравнение |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Вычислить определитель матрицы AB , если A |
1 |
2 |
, |
4 |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.4. Вычислить минор M11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы |
A |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
1.5. Вычислить определитель A 1 , если матрица A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.3.
x 2 y z 1
2.1. Решить систему уравнений 2x y z 5
x 3y 2z 2
38
x 2 y 3z 6
2.2. Найти главный определитель системы 3x y 3z 14
x 2 y 2z 3
2 |
x 4 y 6 |
2.3. Найти x 2y |
, где x и y – решение системы |
|
2x y 5 |
x y 2z 4
2.4. Решить систему уравнений 2x y 3z 1
x 2 y 2z 6
3. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 1.6.
3.1. Записать |
в |
виде |
интеграла |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
||
y x 2 и y x 2 2x 12 |
|
|
|
|
|
||||
3.2. Записать |
в |
виде |
интеграла |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линией |
||
y x2 x 2 и осью Ох. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
3.3. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x 3 и y x 2 5x 5
4. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.2.
4.1. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их,
равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,99, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
4.2. В автопарке имеется 200 автомобилей, причем вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,9. С вероятностью 0,95 определить границы, в
которых будет находиться доля безотказно работающих машин в определенный момент времени.
4.3. С конвейера сходит в среднем 85% изделий высшего сорта. Сколько
39
изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,95 отклонение частоты изделий высшего сорта, сходящих с конвейера, от 0,85 по модулю не превышало 0,01?
4.4. В автопарке 70 машин. Вероятность поломки каждой машины равна 0,2,
причем ломаются они независимо друг от друга. Найти наивероятнейшее число исправных машин в автопарке и вероятность того, что в автопарке будет такое число машин.
4.5. На факультете 356 студентов. Какова вероятность того, что по крайней мере у 25 из них день рождения в марте?
5. Задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 2.3.
5.1. Ошибка показаний весов при измерении веса складывается из систематической ошибки весов, равной 75 гр., и случайной ошибки измерения,
имеющей нормальное распределение со средним значением 50 гр. и
дисперсией 900 гр2. Определить среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение ошибки показаний весов.
5.2. Изделие считается высшего качества, если отклонение его размера от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,5 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта,
если изготовлено четыре изделия.
5.3.При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.
5.4.Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение от проектного размера по модулю не превышает 0,7 мм. Каково наивероятнейшее число годных подшипников среди 100 изготовленных, если с.в.
распределена нормально с параметром = 0,4 мм? Определить вероятность
40