Учебное пособие с заданиями
.pdf
21 |
Аналогично определяем перемещения сечений В и А: |
w |
= −0,183 |
мм; |
wA = −0, 058 |
мм. |
Эпюра |
|||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
перемещений представлена на рис. 2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Е |
|
N, кН |
|
σ, МПа |
w, мм |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0,15 |
l3 |
|
D |
F3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l3/2 |
40 |
60 |
|
100 |
150 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
l2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
0,183 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
133 |
|
|
|
|
l1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
30 |
|
|
100 |
|
0,058 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
Рис. 2.2 |
|
|
|
|
|
|
Пример 2
Жесткий стержень АС шарнирно закреплен в точке С и поддерживается стальной тягой ВD круглого поперечного сечения диаметром 20 мм. На части стержня АС приложена равно-
мерно |
распределенная |
на- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грузка с |
интенсивностью |
|
D |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
q = 80,0 кН/м (рис. 2.3). До- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пускаемое |
напряжение |
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
материала |
тяги ВD [s] = |
|
|
q = 80 кН/м a = 30° |
|
|
|
||||||||
= 160 МПа, модуль упруго- |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5 |
|
С |
|
|
|
|
|
В |
|
А |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сти Е = 2×10 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проверить прочность тя- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ги и |
определить перемеще- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,8 м |
|
0,2 м |
|
0,4 м |
|
|
||||
ние свободного конца жест- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
кого бруса, т.е. точки А. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3 |
|
|
|
|||||
Решение
1. Определяем усилие, возникающее в тяге ВD под действием приложенной нагрузки. Мысленно рассекаем тягу ВD, действие отброшенной верхней части заменяем внутренним усилием NВD (рис. 2.4). Составляем уравнение равновесия системы в виде суммы моментов действующих на нее сил относительно точки С.
SmC = 0,
-80 × 0, 8 × 0, 4 + NBD ×1× sin 30° = 0,
NBD |
= |
80, 0 × 0, 8 × 0, 4 |
= 51, 2 кН. |
|
|||
|
0, 5 ×1 |
|
|
Положительный результат означает, что стержень ВD растягивается.
|
NBD |
|
|
С |
q=80,0 кН/мa = 30° |
|
|
В |
А |
||
|
|||
|
0,8 м 0,2 м |
0,4 м |
|
|
Рис. 2.4 |
|
2.Условие прочности для тяги BD имеет вид:
σ= NBD £ [σ] ,
АBD
22
|
|
|
πd2 |
|
|
3,14 × 22 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
где А |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
= 3,14 см . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
BD |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда σ |
= |
|
N |
= |
51, 2 ×103 |
|
=16, 3 ×10 |
7 |
Па =163 МПа > [σ] = |
|||||||
|
|
А |
|
3,14 ×10 |
−4 |
|
|
|||||||||
= 160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оценим |
перенапряжение |
в тяге |
|
[σ] = |
163 -160 |
×100 % = |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
= 1,9 % < 5 % . Так как перенапряжение в тяге не превышает 5 %, можно сделать вывод, что прочность тяги BD обеспечена.
3. Для определения перемещения точки А найдем удлинение Dl тяги BD и построим план перемещения данной системы, т.е. покажем положение стержневой системы после приложения нагрузки.
Удлинение Dl тяги BD равно
NBD ×lBD |
|
|
51, 2 ×103 ×1, 0 |
|||
Dl = E × АBD |
= cos 30O × 2 ×105 ×106 × 3,14 ×10−4 = 0, 94 мм. |
|||||
План перемещения показан на рис. 2.5. |
||||||
При построении плана перемещения полагаем, что в точ- |
||||||
ке В тяга не соединяется с жестким стержнем АС. Тогда тяга |
||||||
удлинится на величину Dl. Для того чтобы найти новое положе- |
||||||
ние точки В, которая одновременно должна находится на про- |
||||||
|
|
|
|
|
|
должении тяги Dl и вместе |
D |
|
|
|
|
|
с жестким стержнем переме- |
|
|
|
|
|
|
щаться по дуге радиусом СВ |
|
|
|
|
|
|
вниз, надо радиусом DB + Dl |
q |
α |
|
|
|
|
и радиусом СВ произвести |
В |
|
|
А |
засечки. На основании допу- |
||
С |
|
|
|
щения о том, что перемещения |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
α Е |
l |
|
точек тела, обусловленные его |
|
|
|
|
упругими деформациями, весь- |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А |
|
ма малы по сравнению с раз- |
|
|
В1 |
|
|
|
мерами самого тела, заменяем |
|
Рис. 2.5 |
|
|
А1 |
дуги перпендикулярами к со- |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
ответствующим стержням. Тогда отрезок ВВ1 будет искомым перемещением точки В, а отрезок АА1 есть искомое перемещение точки А – DА.
Из прямоугольного треугольника ВВ1Е найдем D = |
Dl |
= |
|
O |
|||
B |
|
||
|
sin30 |
|
=0, 94 =1,88 мм, из подобия треугольников (DСАА1 ¥ DСВВ1)
0, 5
получим перемещение точки А.
DA = DB AC =1,881, 4 = 2, 63 мм.
BC 1
Пример 3
Подобрать из условия прочности поперечные сечения стальных стержней кронштейна, нагруженного силой F = 200 кН, и определить горизонтальное, вертикальное и полное перемещение узла С (рис. 2.6).
Стержень АС двутаврового поперечного сечения, стержень ВС круглого поперечного сечения. Допускаемое напряжение для материала стержней [s] = 160 МПа, модуль упругости Е = 2×105 МПа.
Решение
1. Составим уравнения равновесия и определим усилия в стержнях. Для этого мысленно вырежем узел С. В местах разрезов приложим неизвестные пока усилия в направлении, вызывающем растяжение стержней (рис. 2.7).
1,2 м
В |
|
|
|
|
|
|
|
NВС |
|
Y |
|
А |
α |
С |
α |
С |
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
NАС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 м |
F |
|
F |
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 2.6 |
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
|
|
|
24
ΣFy = 0 :
NBC sin α - F = 0.
NBC = |
F |
= |
200 × 1, 22 +1, 62 |
= |
200 × 2 |
= 333, 3 |
кН; |
|
sin α |
1, 2 |
1, 2 |
||||||
|
|
|
|
|
SFX = 0 :
-N AC - NBC × cos α = 0.
N AC |
= -NBC |
× cos α = -333, 3 × |
1, 6 |
= -266, 7 кН. |
|
||||
|
|
2 |
|
|
Отрицательное значение усилия NАС указывает на то, что стержень испытывает сжатие.
2. Подбираем из условия прочности размеры стержней.
|
а) |
для стержня ВС A |
³ |
N |
BC |
, |
причем A |
= |
πd |
2 |
. Тогда |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
[σ] |
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ×333,3×103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ³ |
|
4 × NBC |
= |
|
= 5,14 ×10 |
−2 |
м = 51, 4 |
мм. |
|
|
|||||||||
|
|
π[σ] |
|
3,14 ×160 ×106 |
|
|
|
||||||||||||
Принимаем в соответствии с таблицей нормальных размеров d = 52 мм. Уточненная площадь стержня ВС
|
π×5, 22 |
2 |
A = |
|
= 21, 2 см ; |
|
||
BC |
4 |
|
|
|
б) для стержня АС АAС = 266,7 ×103 = 1,67 ×10 см2.
160 ×106
В соответствии с сортаментом на двутавровые балки по ГОСТ 8239–72 принимаем двутавр № 14 с F = 17,4 см2.
3. Находим изменение длины каждого стержня. а) удлинение стержня ВС
DlBC |
= |
NBC |
×lBC |
= |
333,3 ×103 × 2 |
=15, 72 |
×10 |
−4 |
м =1,57 |
мм; |
E × ABC |
2 ×1011 × 21, 2 ×10−4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25
б) укорочение стержня АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
DlAC = |
N AC |
×lAC |
= |
- 226,7 ×103 |
×1,6 |
|
= -12,26 ×10 |
−4 |
м= −1,23 мм |
|||||||||||
E × |
A |
2 ×1011 ×17,4 × |
10−4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Определяем перемещение узловой точки С. |
|
|
|
|||||||||||||||||
План перемещения представлен на рис. 2.8. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для определения перемещения узла С положим, что стерж- |
||||||||||||||||||||
ни в узле С не соединены между собой. Тогда стержень ВС уд- |
||||||||||||||||||||
линится |
на |
величину |
DlВС, |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и стержень |
|
АС укоротится |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lАС |
lВС |
||||||||||||
величину DlАС. Новое положе- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ние узла С (точка С1) опреде- |
|
А |
|
|
α |
|
С |
|
|
|||||||||||
лится |
|
как |
точка |
пересечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
||||||
перпендикуляров |
к стержням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|||||||||||
ВС и АС, проведенных из конца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
стержней ВС + DlВС и АС - DlАС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(вместо дуг радиусов ВС + DlВС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||
и АС - DlАС). Из схемы видно, |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
||||||||||
что горизонтальное перемещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
точки |
|
С |
равно |
|
DГ = |DlАС| |
= |
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
||||
= 1,2 мм. Для нахождения вто- |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|||||||||||
рой координаты точки С1 - DВ |
|
|
|
|
|
Рис. 2.8 |
|
|
|
|||||||||||
проведем из точки D перпенди- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
куляр на продолжение стержня ВС. Тогда удлинение DlВС мож- |
||||||||||||||||||||
но представить |
как разность |
отрезков |
CN = CM − NM |
или |
||||||||||||||||
DlBC = DB ×sin α - DГ cos α , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
DB = |
DlBC + DlAC |
cos α |
= |
1, 57 +1, 2 ×1, 6 |
= |
1, 57 + 0, 96 |
= 4, 22 |
мм . |
||||||||||||
|
|
|
|
sin α |
|
|
1, 2 |
|
2 |
|
0, 6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полное перемещение узла С определяется как геометриче- |
||||||||||||||||||||
ская сумма n = 
2B + 2Г = 
4, 222 +1, 232 = 4, 39 мм.
26
Контрольная работа № 1.
Расчеты на прочность статически определимых систем растяжения-сжатия
Задача 1. Проверить прочность и определить перемещение свободного конца стержня. Материал стержня – сталь ([s] = 160 МПа, Е = 2×105 МПа). Расчетная схема и числовые данные выбираются в соответствии с шифром по рис. 2.9 и табл. 2.1.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
||
Номер |
|
|
Цифра шифра |
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
||
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
схема |
а, м |
F1, кН |
F2, кН |
F3, кН |
A1, см2 |
|||
|
||||||||
1 |
1 |
0,30 |
15 |
60 |
100 |
|
10 |
|
2 |
2 |
0,35 |
20 |
70 |
110 |
|
11 |
|
3 |
3 |
0,40 |
45 |
80 |
122 |
|
12 |
|
4 |
4 |
0,45 |
50 |
75 |
130 |
|
14 |
|
5 |
5 |
0,50 |
35 |
90 |
125 |
|
12,5 |
|
6 |
6 |
0,55 |
30 |
65 |
120 |
|
15 |
|
7 |
7 |
0,60 |
40 |
75 |
115 |
|
20 |
|
8 |
8 |
0,65 |
25 |
50 |
110 |
|
16 |
|
9 |
9 |
0,70 |
30 |
85 |
90 |
|
14 |
|
0 |
10 |
0,75 |
55 |
77 |
140 |
|
13 |
|
Примечание: А2 = 1,6А1.
Содержание и порядок выполнения работы
1.Вычертить стержень в масштабе, указать численные значения заданных величин.
2.Определить значения продольной силы на каждом участке и построить эпюру продольных сил по длине стержня.
3.Рассчитать нормальные напряжения на каждом участке
ипроизвести проверку прочности там, где напряжение достигает наибольшего значения. Построить эпюру нормальных напряжений.
4.Вычислить перемещения в характерных сечениях стержня и построить эпюру перемещений.
Задача 2. Подобрать из условия прочности поперечные сечения стальных стержней статически определимой стержневой системы и определить перемещение точки А. Допускаемое нор-
мальное напряжение [s] = 160 МПа, модуль нормальной упругости Е = 2×105 МПа, а = 0,3l. Расчетная схема и числовые данные выбираются в соответствии с шифром по рис. 2.10 и табл. 2.2.
27
28
29
Таблица 2.2
Номер |
|
|
Цифра шифра |
|
|
||
строки |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
схема |
l, м |
|
α, ° |
β, ° |
γ, ° |
F, кН |
1 |
1 |
1,5 |
|
30 |
70 |
50 |
300 |
2 |
2 |
1,6 |
|
35 |
75 |
45 |
350 |
3 |
3 |
1,7 |
|
40 |
65 |
40 |
400 |
4 |
4 |
1,8 |
|
45 |
60 |
35 |
450 |
5 |
5 |
2,9 |
|
50 |
55 |
30 |
500 |
6 |
6 |
2,0 |
|
55 |
50 |
75 |
550 |
7 |
7 |
2,1 |
|
60 |
45 |
70 |
600 |
8 |
8 |
2,2 |
|
65 |
40 |
65 |
650 |
9 |
9 |
2,3 |
|
70 |
35 |
60 |
700 |
0 |
10 |
2,4 |
|
75 |
30 |
65 |
800 |
Содержание и порядок выполнения работы
1.Вычертить схему в масштабе с указанием численных значений заданных величин.
2.Составить уравнения равновесия и определить усилия
встержнях.
3.Подобрать из условия прочности сечения стержней.
4.Определить изменения длины каждого стержня.
5.Построить в масштабе план перемещения точки А.
6.Найти аналитически и проверить графически горизонтальное, вертикальное и полное перемещение точки А.
Вопросы для самопроверки
1.Какой вид нагружения называют растяжением (сжатием)?
2.Как вычисляется продольная сила в произвольном сечении стержня? Как формулируется закон Гука?
3.Что такое продольная и поперечная деформации стержня?
4.Что называется коэффициентом Пуассона?
5.Какой вид имеет условие прочности, и какие типы задач решаются с помощью этого условия?
6.Как определяется допускаемое напряжение для пластичного и хрупкого материала?
Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источники: [1] (гл. 1, § 8–19); [3] ( гл. 1, задачи 1.01, 1.03–1.05, 1.07, 1.12).
30