Лабораторная работа №3 Тема. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических систем уравнений (методы Якоби и Гаусса-Зейделя)

Задание. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса-Зейделя с заданной точностью . Проанализировать результаты решения в зависимости от =0,1; 0,01; 0,001.

Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

2. Решите заданную вариантом СЛАУ методам Якоби с точностью =0,01. Проанализируйте сходимость итерационного процесса.

3. Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

4. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения.

5. Решите вручную систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, вычислив по три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор. Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для =0,1.

6. Решите систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, используя приложение Excel (на разных листах книги). Расчетная схема приведена на рис.3.1.

7. Проанализируйте характер полученных решений для различных значений  =0,1; 0,01; 0,001.

8. Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.3.2).

9. Используя оценку числа итераций, дающую ответ с заданной точностью , вычислите количество итераций и сравните это число с полученными выше результатами.

Решение слау методом Якоби (метод простых итераций) с использованием приложения Microsoft Excel

Пример 3.1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (3.1) методом Якоби.

(3.1)

Итерационные методы можно использовать для заданной системы, т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов»,что обеспечивает сходимость этих методов.

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.1).

Приведите систему(3.1). к нормальному виду:

, (3.2)

или в матричной форме

,

где

, (3.3)

Рис.3.1.

Для определения количества итераций, необходимое для достижения заданной точности , и приближенного решения системы полезно в столбце Н установить Условный формат. Результат такого форматирования виден на рис.3.1. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (3.4) тонированы.

(3.4)

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью четвертую итерацию,

т.е. х₁=10216;х₂= 2,0225,х₃= 0,9912

Изменяя значение  в ячейкеН5можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Для этого выделите блок ячеек А10:D20и, используяМастер диаграмм, постройте графики, отражающие сходимость итерационного процесса, рис.3.2.

Рис.3.2.

Аналогично решается система линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.