методичка Семенов

Согласно обобщенной теореме о среднем (см. в любом курсе интегрального исчисления) в интервале интегрирования 0 r при опреде-

ленном значении r rср можно записать

0 0 rср 0r Htt dr rсрHr .

Продифференцировав последнее соотношение по r , получим известное волновое уравнение

Hrr 0 0 Htt 0 ,

для r rср , приближенно-описывающее поле во всем объеме соленои-

да. Можно предположить, что при невысоких частотах погрешности будут незначительными. Решение волнового уравнения

позволяет установить необходимую для нас связь

Hr 0 0 Ht .

Возвращаясь к первому уравнению (30.9) можно заключить, что

Dt Hr 0 0 Ht ddФt C LIt ,

здесь Ф – магнитный поток;C – э.д.с. сомоиндукции.

Полученные соотношения, описывающие взаимодействие полей и токов поясняют природу самоиндукции и позволяют записать прибли-

женное выражение Dt a(r)It , где a(r) – функция координат.

70

Тогда уравнение (30.8) для контура s , охватывающего N витков катушки (рис. 30.3), представится в виде

H NI It s a(r)ds .

Рис. 30.3

Очевидно, что в этом соотношении интеграл по площади s является постоянной величиной, не зависящей от времени, и тогда, умножив все

уравнение на сомножитель 0 S N , получим осредненное выражение для потокосцепления

зависящее от устройства и режима работы индуктивности.

71

I L1 Ф Фt ,

уже известное обращение формулы Дюамеля.

Различия времен релаксации в последних соотношениях обуславливается различием описания отставания Ф(t) от I(t) и опережения

I(t) относительно Ф(t) .

Решение задач возможно на обоих подходах, как на основе (27.6) так и при помощи (30.10). Однако в последнем случае формула обращения будет отличаться от формулы Дюамеля.

Теперь перейдем к изучению нестационарных процессов в емкостях (рис. 30.4). Конечно, представленный рисунок чрезвычайно идеализирован. Реальные конденсаторы могут иметь более сложную геометрию, без протяженных обкладок, однако, взаимодействие полей и поверхностных токов, на нестационарных режимах, происходит всегда и весьма сложно описывается теоретически. Последующее изложение является попыткой феноменологического анализа этого взаимодействия в простейшей, линейной геометрии.

Рис. 30.4

При переменном напряжении U (t) , подводимом к обкладкам конден-

сатора, в нем появляется переменное потенциальное поле, силовые линии которого начинаются на одной, а заканчиваются на другой обкладке. В соответствии с законами электромагнетизма, вокруг этих переменных напряженностей появляется вихревое магнитное поле, в соответствии с

уравнением Hвихр x Dnom t . Изменение магнитного поля приводит к появлению вихревого электрического поля в соответствии с уравнением

Eвихр x Bвихр t . Очевидно, что последние два соотношения являются аналогами (30.9) в одномерном случае.

72

Вихревое электрическое поле является причиной самоиндукции, которая в проводниках (в обкладках) в соответствии с законом Фарадея, описывается зависимостью

LIt .

Для обкладки конденсатора с действующей э.д.с. индукции закон Ома запишется в виде

U (t,0) U (t, ) rI ,

Отметим, что точно в такой форме нестационарное уравнение Ома получено при рассмотрении инерционности упорядоченного движения электронов (Д.В. Сивухин, 1983 г.).

Для описания появляющейся на обкладке разности потенциалов, обусловленной действующим сигналом и самоиндукцией, возьмем выражение

U(t, ) U (t) Ut ,

вкотором – эмпирический коэффициент.

Подчеркнем, что предлагаемое соотношение преемственно, т.е. при

0 оно описывает эквипотенциальную обкладку. Тогда из (30.11) получим

Ut rI LIt ,

или с учетом, что I qt

Ut rqt Lqtt .

Проинтегрировав последнее уравнение, и обозначив эмпирические константы: r c и L r , получим релаксационное соотношение

73

согласующееся со всем предшествующим изложением и являющееся обращением формулы Дюамеля.

Рассмотренные нестационарные задачи электромагнетизма сведены к универсальному аппарату, описывающему суперпозицию в линейных процессах. В [8] представлены основы этой теории и приведено множество примеров. Широко известны практические применения этой теории в радио- и электротехнике, механике сплошных сред, теории фильтрации, теплопроводности и др.

В завершении отметим следующие важные обстоятельства:

1.Все полученные результаты преемственны, т.е. содержат, как частный случай, стационарное приближение, проясняют границы его применимости и полезны при выходе за эти границы.

2.Анализ полей в индуктивности показал, что при переменных режимах поля внутри неоднородны, и большие напряженности достигаются вблизи проводов. Вероятно, это в какой-то степени объясняет эксперименты Н. Теслы с тонкими катушками во вторичной обмотке и странности их поведения при высоких напряжениях.

3.Анализ полей в емкости позволяет предположить, что Н. Тесла экспериментировал с не плоскими конденсаторами, а в самом мощном трансформаторе использовал обкладку, состоящую из множества металлических полусфер, по той причине, что он добивался увеличения времени релаксации, что, как показано выше, напрямую влияет на выходные напряжения.

4.Студенческой экспериментальной группой проведена серия экспериментов по проверке теории. Измерения проводились различной аппаратурой, со всей тщательностью и перепроверкой. Проверялись соотношения, полученные из (27.12) и (29.19)

где L,C – геометрические, статические характеристики индуктивности

74

На рисунке 30.5 представлены результаты этих исследований, не плохо согласующиеся с (30.13).

Рис. 30.5

75

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Считаем своим долгом выразить благодарность специалистам и коллегам, принявшим участие в обсуждении данного пособия. При всем разнообразии суждений, в основном учтенных, общим является интерес. Это значит, что в этом направлении следует работать, доводить, улучшать, пробовать, совершенствовать. В результате, в нашем практикуме появятся новые, достойные, современные работы.

Вэлектромагнетизме не все благополучно. Не ясна сама природа этих явлений. Р. Фейнман [9] писал: «…говоря об электричестве и магнетизме, я не смог придумать какого-либо особого, отличного от общепринятого способа изложения, не смог найти такого подхода к теме, который возбуждал бы к ней интерес. С электричеством и с магнетизмом, таким образом, не много мне удалось сделать».

Наше исследование – очевидная, естественная попытка изучения классических задач электромагнетизма. Эта работа теснейшим образом связана

сэкспериментом. Она начиналась от эксперимента и закончится объективной экспериментальной проверкой. Мы, в нашем практикуме, в учебное время будемэкспериментально проверять теорию.

Возможно ли, и нужно ли этим заниматься в ВУЗе? И возможно, и нужно. Возможно – потому, что приведенные выше описания не сложнее описаний традиционных лабораторных работ. Нужно – потому, что реальное исследование значительно полезнее, во всех смыслах, чем повторение пройденного и безысходная зубрежка истин XIX века. Подчеркнем, что подобные задачи электромагнетизма экспериментально, интенсивно изучаются в различных исследовательских центрах [11].

Пусть такой деятельностью занимаются не все студенты. Но у нас есть такие студенты как Д. Кистанов и Н. Букатина, И. Телегин и В. Семенова, А. Гусев и А. Филекина, К. Рогузин и Г. Бараева, Л. Соболева и А. Буряков, Т. Титова и И. Воронин. Они приняли деятельное, честное и очень необходимое в постановке новых лабораторных работ участие. Мы им благодарны.

Врезультате этой коллективной работы появилась возможность сопоставления различных способов измерения характеристик «элементарных» устройств – индуктивностей и емкостей. Основой сопоставления послужила Л.Р. № 20, где измерения проводятся современной цифровой техникой. Хорошо зарекомендовала себя Л.Р. № 26, т.к. ее результаты согласуются с Л.Р. № 20. В результате сопоставления переработана Л.Р. № 4 [3], повышена безопасность, подобран измерительный режим для частоты 50 Гц. Эти результаты полезны не только в нашем Практикуме. Л.Р. № 24 (применительно к электролитам), 27, 30 находятся в

76

стадии становления, выполняются «эксклюзивно» и добровольно. Приглашаем и Вас принять участие в постановке этих, возможно, имеющих новизну, работ.

Пути реального исследования трудно предсказуемы и во многом будут зависеть от экспериментальной базы. Но в большей степени они будут определяться человеческим фактором: тягой к истине, молодостью, задором, оптимизмом. А этого у нас в избытке.

77

Справочные таблицы

Таблица 1

Удельное сопротивление и температурный коэффициент сопротивления металлов при 20 0С

Примечание: указанные в таблице значения являются средними; их величина для различных образцов зависит от степени чистоты, термообработки и т.д.

Таблица 2

Сплавы с высоким активным сопротивлением при 20 0С

Таблица 3

Энергии активации проводимости некоторых полупроводниковых материалов [10]

78

Библиографический список

1.Савельев И.В. Курс физики: учебник в 3-х томах; электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1998. – 496 с.

2.Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для студентов высших технических учебных заведений. – М.: Высшая школа, 2000. – 542 с.

3.Лабораторный практикум по физике. Электричество и магнетизм / под ред. А.А. Гилева. – Самара: СГАСУ, 2005. – 64 с.

4.Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. – М.: Наука, 1964. – 328 с.

5.Киттель Ч. Элементарная физика твердого тела. – М. Наука, 1965. – 366 с.

6.Тесла Н. Статьи. – Самара: издательский дом «Агни», 2008. – 584 с.

7.Ацюковский В.А. Эфиродинамические основы электромагнитных явлений. – М.: Петит, 2007. – 73 с.

8.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие для ун-тов. – М.: Наука / гл. ред.

физ.-мат. литер., 1987. – 688 с.

9.Фейнман Р. Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. –

М.: Мир. Вып. 1. Т. 1, 1967. – 267 с.

10.Бабичев А.П. Физические величины: справочник / под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 1232 с.

11.Яннини Б. Удивительные электронные устройства / пер. с англ. С.О. Махарадзе. – М.: НТ Пресс, 2009. – 399 с.

79