методичка Семенов
.pdfПри разомкнутом ключе (Кл) в цепи устанавливается ток |
||||
I0 |
|
|
. |
|
R1 |
|
|
||
|
R |
|||
После замыкания ключа установится ток |
||||
Ik |
|
. |
||
|
||||
|
|
R |
||
Изменение тока можно записать так: I |
1 |
|
1 |
. |
|
R |
|
R R |
|
|
|
|
1 |
|
Для переходного процесса в соответствии с правилами Кирхгофа
получим уравнение: R I(t) |
|
C |
, R I L dI |
|
или I |
R |
I . |
|||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
t |
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решениепоследнего уравнения, сучетомначального условия, будет |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I (t) |
|
|
1 |
e |
|
, |
|
|
||||||
R |
R |
|
R R |
|
|
|||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L / R постоянная релаксации – времени установления режима.
Для описанных выше обозначений решение переписывается в виде, представленном в тексте (27.2)
|
|
|
t |
|
I(t) I0 |
|
|
|
|
|
||||
I 1 |
e . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
Лабораторная работа № 28
ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОИНДУКЦИИ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
Целью работы является теоретическое и экспериментальное изучение взаимоиндукции связанных контуров.
Основы теории. Электрические колебания в связанных контурах достаточно хорошо изучены и имеют широкое практическое применение. Это и всевозможные трансформаторы, и разнообразные устройства, генерирующие, усиливающие, преобразующие, фильтрующие сигналы в радио-, телевизионнойи вычислительнойтехнике.
Начальные представления о связанных контурах можно получить, анализируя схему, изображенную на рисунке 28.1.
Рис. 28.1
Первичный контур (I) питается от генератора (Г), вырабатывающего гармоническое синусоидальное напряжение различных частот ( ). Во вторичном контуре (II), гальванически (проводниками) не связанном с первичным контуром, появляется индуцированное (наведенное) через пустоту, либо вещество, напряжение. Величина этого индуцированного напряжения определяется в соответствии с законом М. Фарадея и уравнениями Максвелла
2 |
|
dФ2 |
, |
(28.1) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
где Ф2 (t) – магнитный поток пронизывающий вторичный контур. На основе простейших допущений, полагая, что Ф2 MI1 , выражение (28.1) записывается, как
51
2 |
M |
dI1 |
, |
(28.2) |
|
dt |
|||||
здесь M – взаимоиндукция |
|
|
|
||
контуров. |
Для гармонических |
токов |
|||
I1 Im sin( t ) выражение (28.2) переписывается в виде |
|
||||
2 M Im cos( t ) . |
(28.3) |
||||
Из последнего выражения, учитывая, что контрольно-измерительные приборы измеряют не мгновенные, а действующие, эффективные характеристики токов, можно записать формулу для определения взаимоиндукции, в зависимости от них
M |
V2 |
. |
(28.4) |
|
|||
|
I1 |
|
|
Эта формула широко применяется в практической радио- и электротехнике. Она хороша при малых частотах, но при возрастании частот дает заниженные результаты, противоречащие представлению, что взаимоиндукция является только геометрической характеристикой конфигурации тока, не зависящей от частоты. Занижение взаимоиндукции при возрастании частоты можно объяснить релаксацией ЭМП, методами, аналогичными работе № 27.
При действии в первичном контуре Em sin t , магнитный поток, пронизывающий вторичный контур представится в виде
Ф2 |
M |
Em sin( t ) |
, arctg |
(L R) |
. (28.5) |
|
R2 2 (L R)2 |
R |
|||||
|
|
|
|
С выводом этого уравнения рекомендуем ознакомиться в предыдущей работе. Поясним лишь, что в соотношении (27.10) L заменено M
всоответствии с теорией связанных цепей. Продифференцировав (28.5)
всоответствии с (28.1), получим
2 |
|
dФ2 |
M |
Em cos( t ) |
. |
(28.6) |
dt |
|
|||||
|
|
|
R2 2 (L R)2 |
|
||
52
С целью получения расчетных соотношений необходимо (28.6) выразить через ток первичного контура. Такое выражение получено в предыдущей работе (27.11),там можно ознакомиться с его выводом. Здесь же просто приведем его
I1 |
(t) |
|
Em 1 ( )2 |
sin t , |
|
||
R2 2 (L R )2 |
(28.7) |
||||||
|
|
. |
|||||
arctg |
L |
|
|
||||
R 2 (L R ) |
|
|
|
||||
Умножив и поделив на радикал 1 ( )2 правую часть (28.6), его можно переписать для измеряемых приборами характеристик
M |
V2 |
1 ( )2 . |
(28.8) |
|
I1 |
||||
|
|
|
Проанализируем полученное расчетное соотношение. Замечательно, что оно согласуется с (28.4), и способно исправить его огрехи при возрастании частоты. Интересно, что взаимоиндукция здесь зависит от времени релаксации первичной катушки, что может привести к несимметричности взаимоиндукции, т.е. передачиэнергииотпервичнойкатушкивторичной и в обратном направлении. Это очень важно, и мы это можем экспериментально изучить.
Для определения постоянной релаксации необходимо провести два измерения M при различных частотах. Обработку результатов можно существенно упростить, если взять i 160 Гц, 1,6 кГц, либо
16 кГц. Тогда соответствующие циклические частоты будут i 103, 104, 105[c-1] (проверьте!), что, конечно, удобно при вычислениях.
Чтобы различить измерения, проиндексируем их так: при 1 – I1 и V1 , а при второй частоте 2 – I2 и V2 .
Из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
V 1 ( )2 |
|
V 1 ( |
2 |
)2 |
|
||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
, |
|
|
|
1I1 |
2 I2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
после очевидных алгебраических преобразований, получим
53
|
|
|
|
I V |
2 |
|
I V |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
1 2 |
|
|||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
(28.9) |
|||
|
|
I1V2 2 |
I2V1 |
2 |
|||||||
Теперь из расчетной формулы (28.8) можно определить M при различных частотах, причем эти значения должны мало отличаться (в пределах ошибки арифметических вычислений).
Экспериментальная часть
Порядок выполнения работы
1.Соберите, либо проверьте соответствие собранной на столе цепи и принципиальной схемы, изображенной на рисунке 28.1. В качестве амперметра и вольтметра используются высокочувствительные мультиметры переменных токов и напряжений (для них вредны перенапряжениявходныхцепейипереключениеихподнапряжением).
2.Начинать работу следует с малых генерируемых напряжений (регулятор выходных напряжений генератора должен быть выведен в крайнее левое положение), а регистрирующие приборы должны быть включены на самые грубые измерения переменных токов и напряжений. При переключении пределов измерения, генератор необходимо выключить. После установки желаемой частоты генерации необходимо обеспечить работоспособность, контролируемость режимов в первичном контуре. Затем приступать к измерениям напряжений во вторичном контуре.
3.Результаты измерений и вычислений заносятся в таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ V I |
V1 |
|
|
V |
I |
|
V2 |
M M |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M |
|
|||||||||||||
п/ |
1 1 1 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
||||
- |
1I1 |
-1 |
|
|
|
2 I2 |
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|||
п |
, с |
, с |
|
|
|
|
с |
|
|
M |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
1
2
3
4
5
54
В нашем эксперименте самым интересным является сопоставление расчетов по традиционной теории ( =0), это 5 и 9 столбцы, с релаксационной теорией (11 и 12 столбцы). Относительную ошибку (13 столбец) эксперимента можно посчитать при N > 2.
Контрольные вопросы
1.Что такое взаимоиндукция?
2.Что такое действующие или эффективные характеристики переменного тока?
3.Чем различаются приборы, измеряющие переменные и постоянные токи?
4.Поясните вывод соотношения (28.4).
5.Выведете соотношение (28.5).
6.Выведете соотношение (28.8).
Лабораторная работа № 29
ИЗУЧЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЕМКОСТЯХ
Целью работы является теоретическое и экспериментальное изучение нестационарных полей в емкости.
Основы теории. Согласно теории Максвелла при нестационарных перераспределениях зарядов возникают взаимосвязанные магнитное и электрическое поля, которые неотделимы друг от друга, и изучаться могут только совместно. По этой причине все нестационарные процессы, исследуемые в предыдущихработах, проявляютсянетолько виндуктивностях, но ивемкостях(конденсаторах).
Рассмотрим простейшую схему, пригодную для изучения нестационарных полей в емкостях (рис. 29.1).
Рис. 29.1
Работа этой схемы легко описывается, а результаты могут использоваться при анализе более сложных устройств и процессов.
При переключениях ключа (Кл) на емкости (С) происходит релаксационное перераспределение потенциалов и зарядов от
U |
0 |
|
R2 |
|
, q0 CU0 |
|
|
||||
|
|
r R R |
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
при разомкнутом ключе (Кл), до
Uk |
R2 |
, qk CU k |
(29.1) |
|
r R2 |
||||
|
|
|
при замкнутом ключе (Кл).
56
После замыкания ключа в соответствии с правилами Кирхгофа можно записать
I U C dU , U rI .
R2 dt
Все обозначения здесь соответствуют рисунку 29.1. Подставив первое уравнение во второе, получим
Ut |
1U |
|
, |
rR2C |
. |
rC |
|
||||
|
|
|
R r |
||
|
|
|
2 |
|
|
(29.2)
(29.3)
Решениеэтогоуравнения, сучетомусловий(29.1) представляетсятак
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R2 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U (t) |
|
|
|
|
|
|
1 |
e |
. (29.4) |
||||||
r R R |
|
|
r R R |
|
|||||||||||
|
r R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 2 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя (29.1) его можно переписать в виде |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
q(t) C U0 U 1 |
e |
, |
|
|
|
(29.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где U Uk U0 .
Выражение (29.5) интересно тем, что иллюстрирует то обстоятельство, что заряд на емкости нельзя изменить мгновенно. Скорость нарастания заряда зависит от времени релаксации . В нашем простейшем случае оно определяется соотношением (29.3), и содержит информацию о релаксационных свойствах емкости.
Любой линейный процесс можно представить как наложение малых возмущений описываемых зависимостью (29.5). К примеру, если мы хотим вычислить заряд вмомент времени t (рис. 29.2), то, разбивинтервал
[ 0,t ] точками i на равные малые участки, суммарный заряд можно
представить как результат сложения отдельных возмущений, действующих различное время.
57
В более сложных случаях такое отставание тоже будет наблюдаться, но его учет будет более сложным.
Возмущение, появляющееся в начале U1 Ut ( 0 )( 1 0 )
будет действовать в течение всего времени ( t ) и его вклад в конечный заряд будет: CUt ( 0 )( 1 0 )(1 e t / ). Последующие возмущения
будут действовать меньшее время, например, изменение напряжения на
участке ( i 1 i ) : |
Ui Ut ( i )( i 1 |
i ) |
|
будет |
|
действовать в |
|||
течение времени (t i ) и добавит заряд CUt ( i )( i 1 |
i )(1 e (t )/ ) |
||||||||
. Сложив все подобные вклады, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
q(t) C U0 |
Ut ( i ) 1 |
e |
|
|
|
|
(29.6) |
||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 29.2
58
Физический смысл последнего выражения весьма интересен. Оно описывает накопленный заряд в зависимости от истории процесса. Физический смысл памяти довольно прост: старые влияния с течением времени проявятся полностью, а новые, недавние влияния еще только начинают действовать, и полностью проявятся позже.
При разбиении процесса на бесконечно малые участки:d ; выражение (29.6) преобразуется в формулу Дюамеля
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||
q(t) C U |
0 |
|
Ut ( ) 1 |
|
|
d . |
(29.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После стандартных математических преобразований (по аналогии с лабораторной работой№ 27) можно получить болеепрактичныйаналог
|
1 |
|
|
|
U (t) |
|
q(t) C qt . |
(29.8) |
|
C |
||||
Применим полученные результаты |
для анализа реальной |
схемы |
||
(рис. 29.3) используемойприизмеренииемкостей.
Рис. 29.3
В соответствии с правилами Кирхгофа, падение напряжения на емкости (29.8) равно действующей э.д.с., то есть
q |
1 q |
CE sin t . |
(29.9) |
t |
|
|
|
59