методичка Семенов
.pdf
Экспериментальная часть
Порядок выполнения работы
1.Соберите, либо проверьте соответствие собранной на столе цепи со схемой, изображенной на рисунке 26.1. Напоминаем: как и в предыдущих работах, вместо батареи здесь используется блок
питания ( БП) с регулируемым и контролируемым выходом. Все исправления и переключения в цепи необходимо делать при
выключенном БП. Работу необходимо начинать от минимальных токов и напряжений (т.е. все регулирующие потенциометры источника питания должны быть выведены в крайне левое положение), двигаясь в сторону больших мощностей необходимо постоянно отслеживать показания измерительных приборов. Согласно паспортным данным используемый источник питания рассчитан на максимальные потребляемые токи до 3А. Правильно собранная схема потребляет меньше. При показаниях амперметра, больших, чем 2А, рекомендуется незамедлительно выключить прибор и разобраться в причинах. Источник питания устроен так, что показания
и I0 считываются непосредственно с прибора.
2.Сила тока I0 измеряется при замкнутых ключах К1 и K2 .
При проведении исследований следует помнить, что это экстремальный режим нашей установки. Он предназначен для достижения максимальной энергии магнитного поля индуктивности, и его необходимо использовать только для проведения измерений.
3. Зафиксировав I0 разомкнуть ключ K2 и произвести измерение максимального напряжения на емкости VM . В качестве вольтмет-
ра в установке использован универсальный вольтметр «В7-26», обеспечивающий большую наглядность, чем цифровые измерительные средства.
4. Данные измерений и расчетов заносятся в таблицу.
№ |
С, |
, |
I0, |
VM, |
L, |
|
|
|
|
|
L |
, |
L |
, |
L |
||||||
п/п |
мкФ |
В |
мА |
В |
Гн |
Гн |
Гн |
L |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
1
2
3
4
40
В данной работе возможна проверка известных формул соединения индуктивностей
Lпос L1 L2
L |
|
L1L2 |
. |
(26.5) |
|
пар |
|
L L |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Очевидно, что отдельные индуктивности при этом не должны взаимодействовать, т.е. их надо разнести. Близко расположенные катушки могут взаимодействовать, и это тема другого исследования.
Контрольные вопросы
1.Получите выражение (26.1).
2.Выведите выражение (26.2).
3.Что такое добротность колебательной системы?
4.Оцените максимальные напряжения возможные в промышленной электросети 220 В, имеющей индуктивность 10-3 Гн, емкость 1 нФ, сопротивление 1 Ом после аварийного короткого замыкания.
5.Получите соотношение (26.5).
6.Оцените реальные параметры полицейского «шокера» с энергией разряда 30 Дж.
Дополнение к лабораторной работе № 26
Формула (26.3) имеет оценочный, качественный характер, так как реальная работа схемы приведенной на рисунке 26.1 несколько сложнее предыдущего рассмотрения.
Более строгий анализ перераспределения напряжений после выключения ключа 2 осуществляется в соответствии со вторым правилом Кирхгофа
|
|
|
|
|
|
|
|
CRV |
|
V |
, |
(26.6) |
|
V IR LI (t) или CLV |
|
|
|||||||||||
с учетом начальных условий |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V (t |
|
0) |
|
0 |
|
I (t 0) q (t 0) CV (t 0) |
R |
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(26.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
41
Задача, описываемая соотношениями (26.6) и (26.7) изучалась выдающимся советским математиком М.И. Конторовичем (1964 г.) [4], однако, для наших целей техрезультатов недостаточно. Припомощиподстановок
V |
, 0t |
t |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
LC |
, (t) 0 ( ) (t) 0 ( ) |
||||
|
|
|
|
|
||
задача (26.6), (26.7) переписывается в более удобной, безразмерной форме
( ) |
1 |
|
( ) 1, (0) 0 |
|
|
|
0) Q . |
|
(26.8) |
||||||||||||||
Q |
, ( )( |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение задачи (26.8) используя [4], записывается в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4Q |
2 |
1 |
|
2Q |
2 |
1 |
|
4Q |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2Q |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
e |
|
|
|
. |
(26.9) |
|
|
2Q |
|
4Q |
2 |
1 |
2Q |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Максимальное напряжение на конденсаторе будет тогда, когда ток
|
|
|
|
|
|
|
|
через индуктивность прекратиться, т.е. при ( ) 0 . Из этого условия |
|||||||
можно найти положение экстремума |
|
|
|
|
|||
M |
2Q |
|
arctg |
|
4Q2 1 . |
(26.10) |
|
4Q2 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
После подстановки в (26.9), получим выражение, описывающее максимальное значение напряжения на конденсаторе
|
|
M |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
4Q |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
M 1 Qe |
|
2Q 1 Qexp |
|
|
|
|
|
|
|
|
. (26.11) |
||
|
|
4Q |
2 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее выражение представлено графически на рисунке 26.2 (кривая 1), которую можно использовать при необходимости повышения точности обработки экспериментов. Интересно, что при всей изо-
42
щренности выражения (26.11) оно неплохо согласуется с приближенными соотношениями (26.3) и (26.4) (кривая 2). Погрешность прибли-
жений не превышает 2,2 % при Q 10 , 5 % при Q 5, 7 % при Q 3, 30 % при Q 1. Анализируя полученные результаты, можно
сделать вывод, что не учтенные влияния, такие как потери на активном сопротивлении, почти компенсируются дополнительной энергией отбираемой от источника на начальной стадии перераспределения тока при
V .
Рис. 26.2
43
Лабораторная работа № 27
ИЗУЧЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ИНДУКТИВНОСТЯХ
Целью работы является теоретическое и экспериментальное изучение нестационарных процессов в индуктивностях.
Основы теории. Переходные процессы в электрических цепях протекают не мгновенно, а за конечные промежутки времени. В предыдущих лабораторных работах (№ 25, 26) возможно наблюдение и изучение таких процессов, если вместо стрелочных приборов использовать специальную аппаратуру, например: осциллограф.
Описание быстропеременных процессов осложняется взаимодействием электрических цепей с окружающим пространством. Строгая теория такого взаимодействия дается уравнениями Максвелла и для реальных устройств, как правило, очень сложна. В простейшем приближении принято считать, что поля сопровождают токи в цепях без задержек, согласно зависимости
Ф LI , |
(27.1) |
здесь Ф – магнитный поток, создаваемый индуктивностью |
L , при |
протекании по ней тока I . |
|
Известно, что мгновенно изменить ток, текущий через индуктивность, либо заряд на конденсаторе невозможно. С целью построения более адекватного описания приведем известное выражение, описывающее токи в
цепях с индуктивностью при появлении в момент t 0 изменения токаI (вывод смотри в дополнении)
|
|
|
t |
|
|
|
I(t) I0 |
|
|
|
, |
(27.2) |
|
|
||||||
I 1 |
e |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь I0 I(t 0) , – время релаксации (для реàльных индуктивностей может отличàться от L/R из-зà известных, но мàлоизученных влияний: способà нàмотки, мàтериàлà кàркàсà и др.)
Магнитный поток, создаваемый изменяющимся током, представится в виде
44
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ф(t) L I0 |
I 1 |
e . |
(27.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принцип суперпозиции позволяет любой нестационарный процесс
представить как наложение малых изменений в виде суммы |
|
|||||
|
n |
|
|
t i |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф(t) L I0 |
Ii 1 |
e |
|
. |
(27.4) |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта сумма построена при помощи разбиения всей области определения 0 t , точками i , в которых происходит изменение тока Ii , представимое в виде: Ii It ( ) i 1 i It ( ) . Очевидно, что это изменение будет действовать в течение времени t i и в момент t
|
|
|
t |
|
|
его вклад в сумму (27.4) будет |
|
|
|
. Другими словами: |
|
|
|||||
Ii 1 e |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение (27.4) описывает зависимость магнитного потока от всей предыстории процесса. Причем эта память имеет простой физический смысл: старые влияния с течением времени проявляются полностью, а свежие, недавние возмущения, только начинают действовать. При раз-
биении процесса на бесконечно малые участки: n , d ; сумма (27.4) преобразуется в формулу Дюамеля (свертки)
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||
Ф(t) L I |
0 |
|
It ( ) 1 |
|
|
d . |
(27.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что (27.5) при 0 дает общепринятое приближение: Ф LI (t) . После стандартных математических преобразований (интег-
рирование по частям, дифференцирование интеграла по параметру) из (27.5) можно получить зависимость
I (t) |
1 |
Ф |
|
Фt , |
(27.6) |
L |
L |
также отвечающую требованию преемственности (при 0 согласующуюсяс (27.1)), иболееудобную для анализа конкретных задач.
45
Рассмотрим простейшую схему (рис. 27.1), пригодную для изучения релаксации электромагнитного поля (это не оговорка, поскольку изменяющееся магнитное поле, согласно теории, сопровождается вихревым электрическим полем, и раздельное изучение их не возможно).
Рис. 27.1
В соответствии с правилами Кирхгофа можно записать
IR c |
Esin t |
|
dФ |
. |
(27.7) |
|||
|
||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
||
Подставив (27.6) в последнее уравнение получим |
|
|||||||
Фt |
R |
Ф |
EL |
|
sin t . |
(27.8) |
||
L R |
L R |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
Решение этого дифференциального уравнения несложно получить при помощи метода вариации произвольной постоянной
Ф(t) |
ELsin( t ) |
, arctg |
(L R ) . |
(27.9) |
|
R2 2 (L R )2 |
|||||
|
|
R |
|
Используя (27.6) получим решение нашей задачи в более удобном виде
|
|
E 1 ( )2 |
|
||
I(t) |
|
sin t , |
|
||
R2 2 (L R )2 |
(27.10) |
||||
arctg |
L |
|
|||
R 2 (L R ) |
|
|
|||
46
Чтобы использовать полученное решение в практических расчетах, необходимо учесть, что измерительные приборы в цепях переменного тока регистрируют так называемые эффективные или действующие характеристики, которые в нашем случае зависят от амплитуд
V |
1 |
E , I |
1 |
|
E 1 ( )2 |
. |
||
2 |
2 |
|
R2 |
2 |
(L R )2 |
|||
|
|
|
|
|||||
Обратим внимание, что здесь V и I не функции времени, а усредненные постоянные, характеризующие работу электрического тока. Тогда выражение (27.10) можно записать в виде закона Ома, определяющего полное, комплексное сопротивление цепи
Z |
V |
|
R2 2 (L R )2 |
. |
(27.11) |
|
I |
1 ( )2 |
|||||
|
|
|
|
Послеэлементарныхалгебраическихпреобразованийможнополучить
L |
Z 2 |
(1 ( )2 ) R2 |
R . |
(27.12) |
|
|
|||
|
|
|
|
Для определения постоянной релаксации необходимо иметь два
измерения Z при различных частотах, тогда из уравнения |
|
||||||||||||||
|
Z 2 |
(1 ( )2 ) R2 |
|
|
Z 2 (1 ( |
2 |
) |
2 ) R2 |
|
||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
легко получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
2 |
Z 2 R2 |
2 |
Z 2 R2 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 2 |
Z 2 Z 2 |
|
|
|
. |
(27.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
Последнее соотношение замыкает теоретическое описание, перейдем к эксперименту.
47
Экспериментальная часть
Порядок выполнения работы
1.Соберите, либо проверьте соответствие собранной на столе цепи и принципиальной схемы, изображенной на рисунке 27.2. Здесь в качестве вольтметра (V) и амперметра (А) используются высокочувствительные мультиметры переменных напряжений, для которых вредны перенапряжения входных цепей и переключения их под напряжением; Г – генератор сигналов с регулируемой частотой и амплитудой.
Рис. 27.2
2.Работа начинается с малых генерируемых напряжений (регулятор выходного напряжения генератора должен быть выведен в крайнее левое положение), а регистрирующие приборы должны быть включены на самые грубые измерения переменных токов и напряжений. При переключении пределов измерения генератор необходимо выключить. Увеличивая выходные напряжения и увеличивая чувствительность (или уменьшая пределы измерения) приборов, необходимо добиться контролируемых режимов работы схемы сначала на одной частоте 1 , затем на более высокой частоте 2 .
При использовании мультиметров с рабочим диапазоном частот до 500Гц, «удобными» частотами могут быть: 80, 160, 320, 400, 480(Гц).
Соответствующие циклические частоты – i рассчитайте самостоя-
тельно.
3. Результаты измерений и расчетов заносят в таблицу.
48
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п/п |
R, Ом |
-1 |
Ом |
-1 |
Ом |
|
L, Гн |
, с |
L, Гн |
|
L L |
|
|
|
|||||||||
|
,c |
,c |
, с |
|
|||||||
|
1 |
, |
2 |
, |
|
||||||
|
1 |
2 |
|
||||||||
|
|
Z |
|
Z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимая для расчетов величина омического сопротивления (R) индуктивности может быть записана на катушке, а может быть измерена вамисамостоятельноприпомощимультиметра, используемоговработе.
Контрольные вопросы
1.Получите выражение (27.5).
2.Покажите, что (27.5) эквивалентно (27.6).
3.Поясните метод решения уравнения (27.8), то есть выведете решение (27.9).
4.На основе выражений (27.6) и (27.9) получите решение (27.10).
5.Что вы думаете о природе инерционности ЭМП?
Дополнение к лабораторной работе № 27
Для вывода соотношения (27.2) рассмотрим схему, приведенную на рисунке 27.3.
Рис. 27.3
49