методичка Семенов
.pdf4.Включите питание ключом К. Перемещая ползунок реостата Rr, снимите 5 – 10 показаний амперметра и вольтметра. Ток ( I ) и сопротивление ( R ) рассчитайте по формулам
I I A |
U |
, R U |
|
U |
. |
(22.5) |
||
RV |
||||||||
|
||||||||
|
I |
|
I A |
U |
|
|
||
|
|
|
|
RV |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
5.Постройте график зависимости I(U ).
6.Рассчитайте сечение проводов и удельное сопротивление по фор-
мулам (22.3), (22.4).
7.Проанализируйте ваши результаты. Попытайтесь на основе сопоставления с данными, приведенными в справочных таблицах, определить материал проводника.
Контрольные вопросы
1.Укажите необходимые условия существования электрического тока в проводниках.
2.Какие вы знаете формулировки закона Ома?
3.Поясните вывод соотношения (22.5) на основе правил Кирхгофа.
4.С какой целью изготовляются высокоомные и некруглые (прямоугольные в сечении) провода?
20
Лабораторная работа № 23
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
Целью работы является изучение электронной теории электропроводности металлов, экспериментальное определение удельного сопротивления проводников, оценка скорости направленного движения электронов и концентрации свободных электронов.
Основы теории. В XX веке экспериментальное открытие Георга Ома получило теоретическоеобоснование врамкахэлектронной теории.
После классических работ Дж. Дж. Томпсона, С.Л. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, Б. Стюарта, Р. Толмена стало очевидным, что в металлах ток обеспечивается движением свободных, слабо связанных с решеткой, электронов.
В электронной теории предполагалось, что свободные электроны являются равноправными участниками теплового движения, и их средняя скорость в соответствии с распределением Максвелла определяется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
8kT |
, |
(23.1) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
где |
k |
|
1,38 10 |
23 |
Дж/ К |
постоянная Больцмана; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Т абсолютная температура; m 9 10 31кг масса электрона.
Оценочные расчеты для T 300K дают 105 м/ с, что существенно больше, чем тепловые скорости молекул. По современным представлениям скорости движения еще больше и равны орбитальным скоростям валентных электронов (так называемым скоростям Ферми).
Продолжим изложение в рамках классической модели идеального электронного газа.
Внешнее электрическое поле, действуя на свободные электроны с силой F eE eU , приведет к упорядоченному, ускоренному
( a F eU ) движению со средней скоростью: m m
21
|
|
|
1 umax |
1 a |
|
1 eU |
|
eUd |
|
, |
(23.2) |
||||
u |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 m |
2m |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
здесь e = 1,6·10-19Кл – заряд электрона; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
E напряженность поля;
U разностьпотенциалов, приложеннаякпроводникудлиной , m 9 10 31кг – масса электрона.
Выражение (23.2) получено из предположения равнопеременности движения электронов между столкновениями с узлами кристаллической
решетки (то есть d 10 10 м).
При упорядоченном движении электронов со скоростью u , через поперечное сечение S проводника за время t пройдет заряд: q enSut ,
где n концентрация электронов. По определению сила тока при этом будет
I qt enSu .
Последнее уравнение удобно переписать для плотности тока
j |
I |
|
|
. |
(23.3) |
|
enu |
||||||
S |
||||||
|
|
|
|
|
||
Учтя (23.2), получим дифференциальный аналог закона Ома
|
E |
|
2m |
|
|
|
|
j |
, |
|
(23.4) |
||||
|
ne2 d |
||||||
|
|
|
|||||
Обратим внимание, что в (23.4) записано теоретическое выражение удельного сопротивления, полученноеиз электронных представлений.
Не сложно показать, что из дифференциальной записи (23.4) для одно-
родных проводников длиной и сечением S следует интегральная форма закона
I |
U |
, R |
|
. |
(23.5) |
|
|||||
|
R |
|
S |
|
|
С целью подтверждения справедливости электронной теории проводимости рекомендуется по экспериментальным данным рассчитать
среднюю тепловую скорость электронов (23.1), оценить скорость
22
упорядоченного движения по формуле (23.2) для одной разности потен-
циалов U , и концентрацию свободных электронов в изучаемом проводнике
n |
I |
(23.6) |
|
Se |
|
||
u |
|
||
Последний результат интересно сопоставить с максимальной оценкой концентрации электроновпо количеству валентныхэлектронов
|
|
|
|
nmax z |
N A |
, |
(23.7) |
здесь z валентность металла;
плотность проводника;
молярная масса;
N A число Авогадро.
Оценочные расчеты для неизвестных сплавов рекомендуется делать по меди ( z = 2, = 9000кг/м3, = 0,064кг/моль) т.к. этот элемент является основным компонентом электротехнических сплавов.
Экспериментальная часть
Порядок выполнения работы
1.В работе используется простейшая схема, условно изображенная на рисунке 23.1. Пунктирной линией выделен блок питания (БП). Конечно, его принципиальная схема значительно сложнее, но для нас важно то, что показания его контрольно-измерительных приборов могут напрямую использоваться в нашей работе. Во избежание перегрузок (БП) и перегрева реохорда R рекомендуется выбирать положение движка во второй половине реохорда, а токи, протекающие по нему выставлять не более 0,5А. Вместо реохорда возможно использование любой проволоки с известными геометрическими размерами.
23
Рис. 23.1
2.В общем варианте выполнения работы сечение исследуемого проводника известно и выписано на реохорде. В случае изучения неизвестного проводника необходимо со всей тщательностью измерить геометрические размеры проводника, необходимые для расчетов удельного сопротивления. Длину проводника целесообразно измерить линейкой либо рулеткой, поперечные размеры – штангенциркулем, либо микрометром. Для уменьшения погрешности желательно использовать усреднения по 3-5 измерениям.
3.После расчета общих характеристик: S r2 и (по формуле 23.1) рекомендуем результаты измерений и дальнейшей обработки занести в таблицу:
№ |
|
U |
|
U |
I |
|
I |
|
|
E |
|
|
|
|
|
j |
|
nmax |
|
E |
j |
|
|
u |
n |
||||||||||||||
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
S |
j |
|
(23.2) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
eu |
|
(23.7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В рекомендуемой таблице специально не приводятся размерности величин, с той целью, чтобы Вы самостоятельно вписали размерности, желательно в системе СИ.
По результатам работы рассчитать ср и nср , сопоставить с известными данными (см. справочные таблицы), с nmax . Идентифицировать
материал и сформулировать свою точку зрения по поводу адекватности электронной теории.
24
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте основные положения электронной теории проводимости.
2.Выведете закон Ома в дифференциальной и интегральной форме.
3.Как зависят удельные сопротивления металлов от температуры?
4.Недостатки электронной теории проводимости.
Лабораторная работа № 24
ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Целью работы является теоретическое и экспериментальное изучение влияния температуры на электропроводность металлов и полупроводников.
Основы теории. Электронная теория проводимости – интереснейший исторический пример развития теоретических и модельных представлений в физике. Начавшись от многочисленных правдоподобных описаний явлений электропроводности и теплопроводности металлов, эта теория, как и любая другая, дошла до своих принципиальных границ применимости и потребовала доработки и усовершенствования.
Теория свободных электронов не отвечала на важнейший вопрос: чем отличаются металлы от полупроводников и диэлектриков. Экспериментаторы еще в XIX веке убедились, что эти отличия имеют не только количественный, но и качественный характер.
Рассмотрим затруднения теории при учете влияния температуры на электропроводность различных веществ.
Проанализируем выражение, полученное в электронной теории (см. лабораторную работу № 23)
|
2m |
8kT |
, |
(24.1) |
|
ne2d |
m |
||||
|
|
|
здесь удельное сопротивление (напомним, что 1 , то есть
равно обратной величине электропроводности); e 1,6 10 19 Кл заряд электрона;
m 9 10 31кг масса электрона; n концентрация электронов;
d период кристаллической решетки.
Зависимость 
T , легко получаемая из (24.1), плохо согласуется с
экспериментальными |
данными для металлов, показывающими, что |
T при высоких и |
T 5 при низких температурах. |
26
Дальнейшее продвижение в понимании природы электропроводности достигнуто при уточнении соотношения (24.1) записанного в виде
|
|
m 1 |
, |
(24.2) |
|
где |
ne2 |
|
|||
время «свободного» движения электрона. |
|
||||
Совершенствование теории шло по пути уточнения описания взаимодействия движущихся зарядов с кристаллической решеткой проводника. Такое движение зарядов происходит в условиях постоянного взаимодействия с решеткой по сложным эквипотенциальным поверхностям, объединяющим валентные зоны различных узлов решетки (поверхно-
стям Ферми), со скоростью F , равной орбитальной скорости валент-
ных электронов. В идеальной, холодной кристаллической решетке, взаимодействий не будет, то есть потерь энергии не будет, будет наблюдаться сверхпроводимость.
Однако такие идеальные условия не реализуются из-за теплового движения узлов решетки, примесей, нарушений кристаллической решетки. Тем не менее, за время электрон может пролететь расстояние,
существенно превышающее период решетки d .
Рассмотрим простейшую полуэмперическую теорию электропроводности, разработанную трудами Дебая, Онзагера, Эйнштейна и др., где тепловое «разбухание» узлов решетки оценивалось на основе сопоставления амплитуд колебания узлов ( a ) и их тепловой энергии
|
M 2a2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
2 kT |
(24.3) |
||
|
|
|
|
, |
|
здесь M |
масса; |
|
|
|
|
a |
амплитуда колебаний; |
|
|
|
|
частота колебаний иона решетки.
Эмпиризм, зависимость теории от конкретных экспериментальных данных, конечно, обуславливается индивидуальными особенностями кристаллическихрешетокиповедением электроновпри движении вних.
Из качественных соображений, таких, как, например, длина свободного пробега ( F ) обратно пропорциональна количеству соударений
( Na2 ), время свободного движения изучалось в виде
27
|
1 |
|
2M |
, |
(24.5) |
F a2 N |
F NkT |
здесь N концентрация;
M масса;
частота колебаний узлов решетки (остальные обозначения описаны выше).
В результатеанализа получено соотношениеуточняющее (24.1) [5]
|
mN F k |
T , |
(24.6) |
|
ne2 M 2 |
||||
|
|
|
и лучше согласующееся с экспериментом, так как здесь T (!). Оче-
видно, что (24.6) несколько лучше, чем (24.1), но так же ограничено, так как не описывает зависимость во всем интервале температур. В общем случае, с учетом нелинейности явления, для сопоставимости различных экспериментальных данных, принято выражение (24.6) приближенно представлять в виде
|
0 1 t t0 , |
(24.7) |
здесь , 0 |
удельные сопротивления при температурах t |
и t0 ; |
температурный коэффициент сопротивления.
Из (24.7) можно получить удобное расчетное соотношение температурного коэффициента, зависящее от легко измеряемых сопротивлений (сделайте самостоятельно)
|
R |
, |
(24.8) |
|
R t |
||||
|
|
|
определяющее температурный коэффициент, как относительное изменение сопротивления при изменении температуры на 10С.
Одним из «драматичных» приключений электронной теории, потребовавшим многих десятилетий исследований явилось парадоксальное поведение температурного коэффициента различных веществ: для про-
водников 0, а для полупроводников 0 , что не объяснялось электронной теорией. Поясним, что к полупроводникам относятся
28
вещества, занимающие промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, характеризуемые электропроводностями [10]
10 9 (Ом м) 1 105 (Ом м) 1 ,
либо, соответственно, удельными сопротивлениями
109 Ом м 1 10 5 Ом м.
Важность изучения полупроводников нельзя умалить, так как к ним относится большинство окружающих нас веществ. Помимо многих элементов IV, V, VI групп периодической системы Менделеева (C, Si, Ge, P, As, S, Se, Sn, Sb и др.), к полупроводникам относятся многие минералы и соединения, как неорганические, так и органические.
Так чем же принципиально отличаются проводники от полупроводников? На этот вопрос классическая физика не смогла ответить. Ответ получентолькоблагодаряразвитиюквантовыхпредставленийовеществе.
Квантово-механическое рассмотрение возможных стационарных состояний электронов в веществе привело к так называемой зонной теории проводимости. Оказалось, что в зависимости от заполнения электронных оболочек и взаимодействия соседних узлов в различных веществах
реализуются распределения электронов в зависимости от энергии ( ), схематически изображенные на рисунке 24.1.
Рис. 24.1
29