Определение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины:

 

Пусть известна плотность совместного распреде­ления вероятностей двумерной случайной величины f(x,y).  Найдем плотности вероятности распределения каждой из состав­ляющих, т.е. f(x) и f(y).

Правило: плотность распределения одной из составляю­щих равна несобственному интегралу с бесконечными пре­делами от плотности вероятности совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей, т.е.:

                                                                          (9.10)

         (9.11)

Для проверки найденных плотностей распределения составляющих следует пользоваться соотношениями:

  и     

32. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин.

Для того чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, вводится понятие условного распределения.

Условным распределением составляющей X при называют совокупность условных вероятностей ,,…,, вычисленных в предположении,что событие , уже наступило. Аналогично опреде­ляется условное распределение составляющей Y.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную вели­чину (X, Y). Пусть известен ее закон распределения. Тогда можно вы­числить условное распределение составляющих, используя выражения:

  (9.14)    при условии, что событие уже произошло и

 (9.15)    при условии, что событие  уже произошло.

Заметим, что сумма вероятностей   условного   распределения равна единице. Это свойство условных распределений можно использовать для контроля вычислений.

32. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин.

Пусть (X, Y) - непрерывная двумерная   случай­ная величина.

Условной плотностью распределения состав­ляющей X при данном значенииY=y  называется отношение плотности совместного распределения f(х, у) двумерной случайной величины (X, Y) к плотности распределения f(y) состав­ляющей Y:

               (9.16)

Заметим, что условная плотность характеризует распределение составляющей Xпри условии, что составляющая Y приняла конкретное значение Y=y (или попала в заданный интервал), а функция f(х) характеризует распределение составляющей X независимо от того, какое из возможных значений примет составляющая Y.

Аналогично, условная плотность распределения состав­ляющей Y при данном значении X=x определяется выражением:

              (9.17)

Если известна плотность совместного распределения f(х,у), то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

                                                                                 (9.18)

и

             (9.19)

Функции  и  обладают следующими свойствами:   

1.      Данные функции неотрицательны.

2.      Несобственный интеграл с бесконечными пределами от каждой из них равен единице, т.е.:

      (9.20)

и

      

32. Условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X =x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

            Для непрерывных случайных величин:

,

где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

32. Числовые характеристики системы случайных величин. Корреляционный момент, коэффициент корреляции

При изучении случайной двумерной случайной величины могут рассматриваться:

1. Числовые характеристики одномерных составляющих X и Y - их математические ожидания и дисперсии.

 Математические ожидания составляющих вычисляются по следующим выражениям (если случайная величина – непрерывная):

                                                    (9.22)                                     (9.23)

Дисперсии составляющих вычисляются по следующим выражениям (если случайная величина – непрерывная):

                                       (9.24)

                                       (9.25)

2. Числовые характеристики условных распределений – условные математические ожидания и условные дисперсии.

 Условное математическое ожидание случайной величины X при условии, что случайная величина Y=y, определяется выражением (если случайная величина – непрерывная):

                       (9.26)             Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что случайная величина X=x:

                                                     (9.27)

Если двумерная случайная величина (X,Y) является дискретной, то условные математические ожидания находят по следующим правилам:

а) условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X  при Y=y(здесь y – определенное значение составляющей Y, одно из возможных) называют сумму произведений возможных значений X (при заданном Y=y) на их условные вероятности, т.е. имеем:

                                                     (9.28)

б) аналогично, для условного математического ожидания дискретной случайной величины Y имеем: