- •Классическое определение вероятности.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Повторные независимые испытания
- •Формула Бернулли
- •1.10. Теоремы Муавра-Лапласа
- •13.Случайные величины: дискретные и непрерывные случайные дискретные величины
- •Пуассона распределение
- •Свойства
- •Свойства
- •Гипергеометрическое распределение.
- •1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения
- •2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •30. Система случайных величин, закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
- •31. Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.
- •Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •Определение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины:
- •Понятие ковариация и коэффициента корреляции
- •41. Линейная регрессия. Линейная корреляция. Нормальная корреляция
- •42.Закон больших чисел. Лемма Чебышева.
- •43.Неравенство Чебышева.
- •44.Теорема Чебышева.
- •45.Теорема Бернули.
- •46. Центральная предельная теорема.
- •47. Основные понятия математической статистики: вариационный ряд, его характеристики.
- •48. Средние величины, показатели вариации.
- •50. Понятие оценки параметров.
- •51. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.
- •52. Понятие статической гипотезы и схеме ее проверки.
- •56.Проверка гипотезы о законе распределения. Хи-квадрат критерий Пирсона.
- •57.Проверка гипотезы о законе распределения. Критерий Колмогорова.
- •58.Проверка гипотезы о законе распределения. Критерий Колмогорова-Смирнова.
Формула полной вероятности.
Рассмотрим систему A из k попарно несовместных событий.
B1, B2, ..., Bk
Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B1A+B2A+...+BkA.
Показать, что события B1A, B2A, BkA попарно несовместны. BiABjA=BiBjAA=VAA=V
Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A, обязательно входит в некоторое, но одно Bi, т.к. B1, B2, ..., Bkобразуют полную группу.
Т.к. B1, B2, ..., Bkнесовместны, то по третей аксиоме теории вероятности имеем:
; т.е.
Например: Имеются урны трех составов
1 |
5 урн |
6 белых и 3 черных шара |
2 |
3 урны |
10 белых и 1 черный |
3 |
7 урн |
0 белых и 10 черных |
Все шары в каждой урне перемешаны.
Испытание - извлекается шар. Какая вероятность того, что при этом будет извлечен белый шар.
B1- Вытащить любой шар из урны 1.
B2- Вытащить любой шар из урны 2.
B3- Вытащить любой шар из урны 3.
A - Извлечь белый шар.
A=B1A+B2A+B3A
B1, B2, B3- попарно несовместны.
Формула полной вероятности: P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)
P(B1)=1/3 |
P(A/B1)=6/9=2/3 |
P(B2)=1/5 |
P(A/B2)=10/11 |
P(B3)=7/15 |
P(A/B3)=0 |
P(A)=1/3×2/3+1/5×11/10+7/15×0=2/9+2/11=40/99»0.4
Полная группа событий.Теорема. Сумма вероятностей событий А1 , А2 , ..., Аn , образующих полную группу, равна единице:
Р (A1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1.
Противоположные события.Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).
З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы
p + q = l
З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле
.
Произведение событий, условная вероятность.
Произведение событий. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Условная вероятность. Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.
Условной вероятностью РA (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Исходя из классического определения вероятности, формулуРA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0 можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна
РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р(A)>0).
Теорема умножения вероятностей
Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р (А) и РA(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (АВ) = Р (А) РA(В). (*)
Доказательство
З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим
Р (ВА) = Р (В) РB (А),
или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,
Р(АВ) = Р (В) РB (А). (**)
Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства
Р (А) РA (В) = Р (В) РB (А). (***)
С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
где
является вероятностью события An, вычисленной в предположении, что события А1,А2,..., Аn — 1наступили. В частности, для трех событий
Р (AВС) = Р (А) РA(В) РAB(С).
Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р (А) и РA(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (АВ) = Р (А) РA(В). (*)
З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим
Р (ВА) = Р (В) РB (А),
или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,
Р(АВ) = Р (В) РB (А). (**)
Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства
Р (А) РA (В) = Р (В) РB (А). (***)
С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
где
является вероятностью события An, вычисленной в предположении, что события А1,А2,..., Аn — 1наступили. В частности, для трех событий
Р (AВС) = Р (А) РA(В) РAB(С).
Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.
Формула полной вероятности
Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий:
,
образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
Докажем, что в этом случае
, (3.4.1)
т.е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Формула (3.4.1) носит название формулы полной вероятности.
Вероятность гипотез. Формула Байеса
Вероятность гипотез. Формулы Байеса
Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:
.(*)
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
Найдем сначала условную вероятность . ПО теореме умножения имеем
.
Отсюда
.
Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим
.
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле
.
Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Повторные испытания . Формула Бернулли