41. Линейная регрессия. Линейная корреляция. Нормальная корреляция

Линейная регрессия занимает в технике и теории корреляции особое место. Она обусловлена двумерным нормальным законом распределения СВ Х и Y:

, где

а₀и а₁– коэффициенты регрессии,

х – независимая случайная величина.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Если обе функции регрессии У на X и X на У линейны, то говорят, что X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. Очевидно, что графики линейных функций регрессии — прямые линии, причем можно доказать, что они совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии. Имеет место следующая важная теорема.  Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. 

42.Закон больших чисел. Лемма Чебышева.

Закон больших чисел Чебышева.    Имеет место следующее утверждение. Пусть- последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е.для любого i. Тогда, каково бы нибыло, справедливо соотношение

(54)

   Доказательство:    Обозначим через величину, т.е. среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величинаимеет математическое ожидание 

   и дисперсию  

   (здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине вторую лемму Чебышева, найдем, что  

   т.е.  

   так как при любом i, и следовательно, 

   Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим  

   Переходя к пределу при , имеем 

43.Неравенство Чебышева.

Рассмотрим случайную величину X с конечным мат. ожиданием и дисперсией

Для любого неотрицательного числа t вероятность наступления события

Пусть Z - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(Z). Пространство событий величины Z (0; ). Тогда имеет место неравенство

Доказать неравенства

Рассмотрим два сложных события

a - произвольное действительное число.

Показать самим, что x - удовлетворяет и одному и другому неравенству.

Тогда справедливо

В данном случае

Равномерность неравенств при >0

или, в частности, при a==MX

при =t справедливо неравенство Чебышева.

44.Теорема Чебышева.

Теорема: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое полученных в опытах значений случайной величины X сходится по вероятности к ее математическому ожиданию , где     d,e - сколь угодно  малые величины;    при n®¥ будет выполняться данное неравенство.

Доказательство: Применим неравенство Чебышева для случайной величины  , где ,    ,   .            Тогда .

При любом сколь угодно малом значении   ε  можно всегда подобрать n такое, чтобы сделать δ  значительно меньше единицы.

45.Теорема Бернули.

Рассмотрим систему независимых испытаний Бернулли.

Система испытаний неограниченна. С каждым i-видом испытаний свяжем дискретную величину Xi

Хi принимают значения 1, если в i-том испытании произошло событие А и 0 - в противном случае

Рассмотрим случайную величину- число появлений события А в n испытаниях

Рассмотрим случайную величину  

Это частость наступления события А в n испытаниях

Используем неравенство Чебышева

где e - произвольное неотрицательное число

Рассмотрим 

Получена теорема Бернулли.

Частость наступления произвольного события при числе испытаний стремящемся к бесконечности по вероятности сходится к теоретической вероятности наступления события.