Пуассона распределение

Пуассона распределение, одно из важнейших распределений вероятностей случайных величин, принимающих целочисленные значения. Подчинённая П. р. случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения, причём Х = kc вероятностью

 , k =0, 1, 2,...

(l — положительный параметр). Своё название "П. р." получило по имени С. Д. Пуассона (1837). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей П. р. с параметром l, равны l. Если независимые случайные величины X₁ и X₂ имеют П. р. с параметрами l₁ и l₂, то их сумма X₁+X₂ имеет П. р. с параметрами l₁ + l₂.

В теоретико-вероятностных моделях П. р. используется как аппроксимирующее и как точное распределение. Например, если при n независимых испытаниях события A₁,..., A_n осуществляются с одной и той же малой вероятностью р, то вероятность одновременного осуществления каких-либо kсобытий (из общего числа n) приближённо выражается функцией p_k(np) (математическое содержание этого утверждения при больших значениях n и1/рформулируются Пуассона теоремой). В частности, такая модель хорошо описывает процесс радиоактивного распада и многие др. физические явления.

Как точное П. р. появляется в теории случайных процессов. Например, при расчёте нагрузки линий связи обычно предполагают, что количества вызовов, поступивших за непересекающиеся интервалы времени, суть независимые случайные величины, подчиняющиеся П. р. с параметрами, значения которых пропорциональны длинам соответствующих интервалов времени (см. Пуассоновский процесс).

В качестве оценки неизвестного параметра l по n наблюдённым значениям независимых случайных величин X₁,..., X_n используется их арифметическое среднее X =(X₁ +... + X_n)/n, поскольку эта оценка лишена систсматической ошибки и её квадратичное отклонение минимально (см. Статистические оценки).

14. Простейший поток событий

Поток событий— последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Свойства

• Свойство стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета.

• Свойство ординарности: вероятностью наступления за элементарный промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события

• Свойство отсутствия последействия: вероятность появления k на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

более доступное понимание свойств:Стационарные — когда вероятность попадения того или иного числа событий на участок времени, зависит только от длины этого участкаОрдинарные— когда вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю.Без последействия— когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Простейший (стационарный пуассоновский) поток— поток событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивность потока ()— среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Поток событий называется простейшим, если он стационарен, однороден и не имеет последействия. Для такого потока вероятность появления на интервале m событий определяется формулой Пуассона -средняя интенсивность потока.

Для простейшего потока интервал t между соседними событиями имеет показательное распределение: . Если рассматривать бесконечно малый временной интервал, то с учетом ординарности пуассоновского потока 

14. Геометрическое распределение

Закон распределения , где– вероятность успеха в единичном испытании, называется геометрическим распределением вероятностей и обозначаетсяили. Так как вероятность неудачи в единичном испытании обозначается как, то закон распределения можно переписать в более сжатой форме.