- •Определение функции нескольких переменных
- •2. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •3. Частное и полное приращение функции
- •Задание для самостоятельной работы.
- •4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •5. Частные производные функции нескольких переменных
- •Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
- •Задания для самостоятельной работы.
- •6. Полное приращение и полный дифференциал
- •Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
- •Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
- •Предположим, что в уравнении
- •Получаем
- •Задание для самостоятельной работы
- •8. Производная от функции, заданной неявно
- •9. Частные производные и дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы
- •10. Поверхности уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •11. Производная по направлению. Градиент
- •Будем предполагать, что функция и(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области d.
- •Уравнение линии уровня, проходящей через данную точку, будет
- •Задание для самостоятельной работы
- •14. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
- •Определить условные экстремумы функций:
- •15. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •В этом случае выражение (61) имеет вид
- •16. Особые точки кривой
9. Частные производные и дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных
z = f(х, у).
Частные производные и, вообще говоря, являются функциями переменныхх и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций иможно дифференцировать как пох, так и по у.
Вторые частные производные обозначаются так:
, |
здесь f дифференцируется последовательно два раза по х; |
здесь f сначала дифференцируется по х, а потом результат дифференцируется по у; | |
здесь f сначала дифференцируется по у, а потом результат дифференцируется по х; | |
здесь f дифференцируется последовательно два раза по у. |
Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные третьего порядка. Их будет, очевидно, уже восемь:
, , , , , , , .
Вообще, частная производная п-го порядка есть первая производная от производной (п – 1)-го порядка. Например, есть производная п-го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом п – р раз по у.
Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.
Пример 28. Вычислить частные производные второго порядка от функции
Решение. Последовательно находим
, ,,,,.
Пример 29. Вычислить и , если .
Решение. Последовательно находим
, ,,
, ,.
Пример 30. Вычислить , если .
Решение. ,,,.
Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным, т.е. будут ли, например, тождественно равны производные
и
или
и и т.д.
Оказывается, что справедлива следующая теорема.
Теорема. Если функция z = f(х, у) и ее частные производные fх, fу, fху и fух определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
(fху = fух).
Из данной теоремы как следствие получается, что если частные производные инепрерывны, то
.
Аналогичная теорема имеет место и для функции любого числа переменных.
Пример 31. Найти и, если.
Решение.
, ,,
, ,.
Следовательно, .
Дифференциалом второго порядка от функции z = f(х, у) называется дифференциал от его полного дифференциала, т.е. d2z = d(dz).
Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: d3z = d(d2z); вообще dпz = d(dп-1z).
Если х и у – независимые переменные и функция f(х, у) имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам
;
.
Вообще, имеет место символическая формула
,
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Пример 32. Найти d3z, если z = x2y.
Решение. ,,,,,,,.
.
Задание для самостоятельной работы
86. Найти , если.
87. Найти ,,, если.
88. Найти ,, если.
89. Найти , если.
90. Найти , если.
91. Показать, что функция удовлетворяет уравнению.
92. Показать, что функция удовлетворяет уравнению.
93. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
94. Найти , если.
95. Найти , если.