- •Определение функции нескольких переменных
- •2. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •3. Частное и полное приращение функции
- •Задание для самостоятельной работы.
- •4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •5. Частные производные функции нескольких переменных
- •Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
- •Задания для самостоятельной работы.
- •6. Полное приращение и полный дифференциал
- •Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
- •Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
- •Предположим, что в уравнении
- •Получаем
- •Задание для самостоятельной работы
- •8. Производная от функции, заданной неявно
- •9. Частные производные и дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы
- •10. Поверхности уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •11. Производная по направлению. Градиент
- •Будем предполагать, что функция и(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области d.
- •Уравнение линии уровня, проходящей через данную точку, будет
- •Задание для самостоятельной работы
- •14. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
- •Определить условные экстремумы функций:
- •15. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •В этом случае выражение (61) имеет вид
- •16. Особые точки кривой
Задание для самостоятельной работы
Найти частные производные , :
56. ,,. |
57. . |
58. . |
59. . |
60. . |
61. . |
Найти полную производную :
62. . |
63. . |
64. . |
65. . |
66. . |
67. . |
Найти полный дифференциал сложной функции:
68. |
69. . |
70. z = uv, u = x2sin y, v = x3ey. |
71. |
72. . |
73. |
8. Производная от функции, заданной неявно
Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной функцией одной переменной. Пусть некоторая функция у от х определяется уравнением F(х, у) = 0. Докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть непрерывная функция у от х задается неявно уравнением
F(х, у) = 0, (33)
где F(х, у), Fх(х, у), Fу(х, у) – непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х, у), координаты которой удовлетворяют уравнению (33); кроме того, в этой точке Fу(х, у) 0. Тогда функция у от х имеет производную
.
Доказательство. Пусть некоторому значению х соответствует значение функции у. При этом F(х, у) = 0. Дадим независимой переменной х приращение х. Функция у получит приращение у, т.е. значению аргумента х + х соответствует значение функции у + у. В силу уравнения F(х, у) = 0 будем иметь
F(х + х, у + у) = 0.
Следовательно,
F(х + х, у + у) – F(х, у) = 0.
Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных, по формуле (12) можно переписать так
,
где 1 и 2 стремятся к нулю при х и у, стремящихся к нулю. Так как левая часть последнего выражения равна нулю, можно написать
.
Разделим последнее равенство на х и вычислим :
.
Устремим х к нулю. Тогда, учитывая, что при этом 1 и 2 также стремятся к нулю и что , в пределе получим
. (34)
Мы доказали существование производной ух от функции, заданной неявно, и нашли формулу для ее вычисления.
Пример 24. Уравнение х2 + у2 – 1 = 0 определяет у как неявную функцию от х. Здесь
, ,.
Следовательно, по формуле (33)
.
Заметим, что заданное уравнение определяет две разные функции (так как каждому значению х в промежутке (1, 1) соответствует два значения у); однако найденное значение ух справедливо как для одной, так и для другой функции.
Пример 25. Дано уравнение, связывающее х и у: . Здесь
, ,.
Следовательно, по формуле (33) получаем:
.
Рассмотрим теперь уравнение вида
F(x, y, z) = 0. (35)
Если каждой паре чисел х и у из некоторой области соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению (35), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций z от х и у.
Например, уравнение неявно определяет две непрерывные функцииz от х, у, которые можно выразить явно, разрешив уравнение относительно z; в этом случае мы получаем:
и .
Найдем частные производные инеявной функцииz от х и у, определяемой уравнением (35).
Когда мы ищем , мы считаему постоянным. Поэтому здесь применима формула (34), если только независимой переменной считать х, а функцией z. Следовательно,
.
Таким же путем находим
.
Предполагая, что .
Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.
Пример 26. .
, .
Дифференцируя эту функцию как явную (после разрешения уравнения относительно z), мы получили бы тот же результат.
Пример 27. . Здесь
.
, ,,,.
Замечание. Все изложенные рассуждения производились в предположении, что уравнение F(х, у) = 0 определяет некоторую функцию одной переменной у = (х); уравнение F(х, у, z) = 0 определяет некоторую функцию двух переменных z = f(х, у). Укажем без доказательства, какому условию должна удовлетворять функция F(х, у), чтобы уравнение F(х, у) = 0 определяло однозначную функцию у = (х).
Теорема. Пусть функция F(х, у) непрерывна в окрестности точки (х0, у0) и имеет там непрерывные частные производные, причем Fу(х, у) 0, и пусть F(х0, у0) = 0. Тогда существует окрестность, содержащая точку (х0, у0), в которой уравнение F(х, у) = 0 определяет однозначную функцию у = (х).
Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции, определяемой уравнением F(х, у, z) = 0.
Замечание. При выводе правил дифференцирования неявных функций мы пользовались условиями, которые и определяют существование неявных функций.
Задание для самостоятельной работы
Найти частную производную при x=1, y=1.
-
74. .
75. .
76. .
77. .
78. .
79. .
Найти частные производные и:
-
80. .
81. .
82. .
83. .
84. .
85. .