1. Определение функции нескольких переменных

Рассматривая функции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явления приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у, выражается формулой S = ху. Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S; S есть функция двух переменных.

Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z, выражается формулой V = xyz. Здесь V есть функция трех переменных х, у, z.

Пример 3. Дальность R полета снаряды, выпущенного с начальной скоростью v₀ из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом , выражается формулой (если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесьg – ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений v₀ и  эта формула дает определенное значение R, т.е. R является функцией двух переменных v₀ и .

Пример 4. . Здесьи есть функция четырех переменных х, у, z, t.

Определение 1. Если каждой паре (х, у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D.

Символически функция двух переменных обозначается так:

z = f(x, y), z = F(x, y) и т.д.

Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически – с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных. Так, для первого примера можно составить следующую таблицу:

S = ху

x у	0	1	1,5	2	3
1 2 3 4	0 0 0 0	1 2 3 4	1,5 3 4,5 6	2 4 6 8	3 6 9 12

В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х и у, проставлено соответствующее значение функции S. Если функциональная зависимость z = f(x, y) получается в результате измерений величины z при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая z как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей.

Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х и у.

Определение 2. Совокупность пар (х, у) значений х и у, при которых определяется функция z = f(x, y), называется областью определения или областью существования этой функции.

Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости, ограниченные линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такая постоянная С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т.е. |OM| < С.

Пример 5. Определить естественную область определения функции

z = 2х – у.

Аналитическое выражение 2х – у имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху.

Пример 6. .

Для того чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. х и у должны удовлетворять неравенству 1 – х² – у²  0, или х² + у²  1.

Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.

Пример 7. .

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство х + у > 0, или у >  х.

Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой у =  х, не включая самой прямой.

Пример 8. Площадь треугольника S представляет собой функцию основания х и высоты у: S = xy/2.

Областью определения этой функции является область х  0, у  0 (так как основание треугольника и его высота не могут быть ни отрицательны, ни нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения ху/2 является, очевидно, вся плоскость Оху.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных.

Определение 3. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных х, у, z, …, u, t соответствует определенное значение переменной w, то будем называть w функцией независимых переменных х, у, z, …, u, t и писать w = F(х, у, z, …, u, t) или w = f(х, у, z, …, u, t) и т.п.

Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных.

Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (х, у, z). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку М(х, у, z) в пространстве Охуz. Следовательно, областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства.

Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных u = f(x, y, z, t) как о некоторой совокупности четверок чисел (x, y, z, t). Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.

В примере 2 приведена функция трех переменных, определенная при всех значениях х, у, z.

В примере 4 приведена функция четырех переменных.

Пример 9. .

Здесь w – функция четырех переменных х, у, z, и, определенная при значениях переменных, удовлетворяющих соотношению:

.