- •Определение функции нескольких переменных
- •2. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •3. Частное и полное приращение функции
- •Задание для самостоятельной работы.
- •4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •5. Частные производные функции нескольких переменных
- •Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
- •Задания для самостоятельной работы.
- •6. Полное приращение и полный дифференциал
- •Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
- •Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
- •Предположим, что в уравнении
- •Получаем
- •Задание для самостоятельной работы
- •8. Производная от функции, заданной неявно
- •9. Частные производные и дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы
- •10. Поверхности уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •11. Производная по направлению. Градиент
- •Будем предполагать, что функция и(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области d.
- •Уравнение линии уровня, проходящей через данную точку, будет
- •Задание для самостоятельной работы
- •14. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
- •Определить условные экстремумы функций:
- •15. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •В этом случае выражение (61) имеет вид
- •16. Особые точки кривой
Предположим, что в уравнении
z = F(u, v) (22)
и и v являются функциями независимых переменных х и у:
и = (х, у), v = (х, у). (23)
В этом случае z есть сложная функция от аргументов х и у.
Конечно, z можно выразить и непосредственно через х и у, а именно:
z = F((х, у), (х, у)) (24)
Пример 20. Пусть z = u3v3 + u + 1, u = x2 + y2, v = ex+y + 1, тогда
z = (х2 + у2)3(ех+у + 1)3 +(х2 + у2) + 1.
Предположим, что функции F(u, v), (х, у), (х, у) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам и поставим задачу: вычислить ,, исходя из уравнений (22) и (23) и не используя уравнение (24).
Дадим аргументу х приращение х, сохраняя значение у неизменным. Тогда в силу уравнения (23) u и v получат приращения и.
Но если u и v получают приращения и, то и функцияz = F(u, v) получит приращение z, определяемое формулой (12):
.
Разделим все члены этого равенства на х:
.
Если х 0, то 0 и 0 (в силу непрерывности функций u и v). Но тогда 1 и 2 тоже стремятся к кулю. Переходя к пределу при х 0, получим
, ,,,
и, следовательно,
. (25)
Если бы мы дали приращение у переменной у, а х оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы
. (26)
Пример 21. ,,.
, ,,,,.
Используя формулы (25) и (26), находим
,
.
В последнем выражении вместо u и v необходимо подставить исоответственно.
Для случая большего числа переменных формулы (25) и (26) естественным образом обобщаются.
Например, если w = F(z, u, v, s) есть функция четырех аргументов z, u, v, s, а каждый из них зависит от х и у, то формулы (25) и (26) принимают вид
(27)
Если задана функция z = F(x, y, u, v), где y, u, v в свою очередь зависят от одного аргумента х:
у = f(x), u = (x), v = (х),
то, по сути дела, z является функцией только одной переменной х и можно ставить вопрос о нахождении производной .
Эта производная вычисляется по первой из формул (27)
;
но так как y, u, v – функции только одного х, то частные производные обращаются в обыкновенные, кроме того, ; поэтому
. (28)
Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной (в отличие отчастной производной ).
Пример 22. ,.
, ,.
Формула (28) дает в этом случае следующий результат:
.
Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами (22) и (23).
Подставляя выражения и, определенные равенствами (25) и (26), в формулу полного дифференциала
. (29)
Получаем
.
Произведем следующее преобразование в правой части:
. (30)
Но
(31)
Равенство (30) с учетом равенства (31) можно переписать так:
,
или
. (32)
Сравнивая (29) и (32), можем сказать, что выражение полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеет тот же вид, т.е. форма дифференциала инвариантна, являются ли u и v независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Пример 23. Найти полный дифференциал сложной функции
z = u2v3, u = x2sin y, v = x3ey.
Решение. По формуле (32) имеем
Последнее выражение можно переписать и так: