2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Поверхность и развертка – это два точечных множества. Между этими множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие, если развертка не содержит разрывов и складок поверхности. На основании этого можно сформулировать следующее:

1)длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой, вследствие чего замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь;

2)угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиям на развертке. Это свойство называется конформностью;

3)прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке (обратное утверждение не имеет смысла);

4)параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке;

5)если линии, принадлежащей поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической (геодезическая линия – это линия на поверхности, соединяющая две точки поверхности кратчайшим путем).

2.3. ПРИМЕРЫ РАЗВЕРТЫВАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Прямой круговой цилиндр

Цилиндрическая поверхность развертывается в прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая – длине окружности основания

(рис. 10).

На развертке представлена линия I–VIII пересечения цилиндра некоторой плоскостью общего положения (она на эпюре не показана). Для построения этой линии проведены образующие цилиндра, полученные от деления окружности основания на 8 равных частей. Эти образующие являются ребрами вписанного в цилиндр многогранника – восьмиугольной призмы. Показан также отрезок прямой AB, который является геодезической линией между точками A и B. Для построения этой линии на поверхности цилиндра между точками A и B отмечены дополнительные точки C, D и E. Геодезическая линия изображается на поверхности цилиндра в форме винтовой линии.

Рис. 10

Наклонный цилиндр

Развертку наклонного цилиндра (рис. 11) построим способом раскатки, как это было сделано в случае наклонной призмы. Для этого основание цилиндра делим на несколько равных частей (например, на 8) и проводим образующие (они являются ребрами вписанной призмы). На П2 из точек 1, 2,…, 8 проводим перпендикуляры к образующим и, замеряя величину хорд на окружности основания, делаем засечки на этих перпендикулярах. Соединяя между собой засечки, получаем развертку основания цилиндра в виде синусоиды. Аналогично строим развертку противоположного основания цилиндра. Для построения на развертке цилиндра линии его сечения плоскостью общего положения (она не показана) переносим на образующие каждую отмеченную на цилиндре точку фигуры сечения.

Форму наклонного (эллиптического) цилиндра, развертку которого мы здесь рассмотрели, имеет «колено» трубы для обвода какого-либо препятствия при монтаже (рис. 12).

22≡82 32≡72 42≡62

Рис. 11

Рис. 12

Построим развертку этого «колена» способом нормального сечения. Необходимым условием является такое расположение поверхности, чтобы

ее образующие были параллельны одной из плоскостей проекций (рис. 13).

Рис. 13