Поверхности, содержащие все типы точек, называют поверхностями двоякой кривизны. Например, поверхность тора содержит все типы точек (рис. 4):

точки окружности l, l , по которым плоскости Σ, Σ касаются тора, – параболические; точки M i – на внешней части поверхности между плоскостями Σ, Σ – эллиптические; точки Ni на внутренней плоскости поверхности кольца между плоскостями Σ, Σ – гиперболические. В общем случае плоскость каса-

ется поверхности в точке, но может касаться по прямой линии, например к конусу (рис. 5, а), или по кривой линии, например к тору (рис. 5, б).

1.2. ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Построение касательной плоскости связано с указанием точки ее касания (в большинстве случаев). Вместе с тем положение касательной плоскости можно подчинить каким-то другим условиям и затем найти точку касания: так, к сфере можно провести касательную плоскость через прямую, не пересекающую сферу.

Рассмотрим примеры построения касательной плоскости к некоторым поверхностям.

Пример 1. Построить плоскость, касательную к конической поверхности и проходящую через точку А на ее поверхности (рис. 6).

Рис. 6

Образующая SM, проведенная через данную точку, является линией касания. Она служит одной из прямых, определяющих искомую плоскость α. Второй прямой может служить касательная t к направляющей линии m конической поверхности в точке М. Эта касательная является линией пересечения плоскости β и касательной плоскости α.

Аналогично определяется касательная плоскость к цилиндрической поверхности, проходящей через точку А, заданную на ее поверхности (рис. 7).

Рис. 7

Пример 2. Построить плоскость, касательную к конусу и проходящую через заданную точку М вне его (рис. 8).

Рис. 8

296 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Через точку М проведем горизонтальную плоскость уровня , которая пересечет поверхность конуса по окружности m. Из точки М проведем к этой окружности две касательные t и t′ и отметим точки касания C и D. Значит, через точку М проходит две касательные плоскости к поверхности конуса: Σ(t∩SC)

и Σ(t′∩SD).

Пример 3. Построить касательную плоскость к поверхности вращения в данной точке М (рис. 9).

Рис. 9

Выберем на поверхности две наиболее простые линии, проходящие через данную точку, – параллель и меридиан. Так как параллель находится в гори-

зонтальной плоскости уровня, то касательная к ней будет горизонталью. Для построения касательной к меридиану, проведенному через точку М, повернем его до положения главного меридиана. Тогда и точка М будет лежать на

главном меридиане. Ее новое положение обозначим буквой M . Теперь можно

через точку M провести касательную к главному меридиану, отметить точку K пересечения ее с осью поверхности, а затем повернуть в исходное положение. Таким образом, касательная плоскость определяется линией уровня h

ипрямой KМ, которая является линией ската.

2.РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Впромышленности применяется много конструкций, выполненных из листового материала посредством изгибания: различные резервуары, трубопроводы, кузова автомобилей, обшивки самолетов, судов и др. При проектировании

иизготовлении таких конструкций приходится выполнять развертки. Разверткой поверхности называется плоская фигура, образованная последовательным совмещением всех плоских элементов поверхности с одной плоскостью. У кривой поверхности за плоские элементы принимают грани вписанного в нее многогранника. Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися. К развертывающимся поверхностям относятся: многогранники, цилиндрические, конические и торсовые поверхности.

Развертки всех кривых поверхностей, которые выполнены графически, являются приближенными. Это объясняется тем, что поверхность аппроксимируют (приближенно заменяют) поверхностями вписанных или описанных многогранников.

2.1.ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

1.В данную кривую поверхность вписать многогранную.

2.Определить натуральную величину всех ребер многогранника.

3.Если грани имеют больше трех вершин, разделить их диагоналями на треугольники и определить натуральную величину диагоналей.

4.Построить на чертеже натуральную величину одной грани и пристроить

кней через смежные ребра все остальные грани.

5.Соединить соответствующие вершины на развертке линиями (для многоугольников – ломаной, для кривых поверхностей – плавной кривой линией).