148 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
7.КРИВИЗНА КРИВОЙ
Клокальным свойствам кривой относится понятие ее кривизны. Форма кривой зависит от быстроты изменения направления касательной. Эта быстрота называется кривизной в рассматриваемой точке и обозначается буквой k.
Когда точка M прикосновения касательной |
(рис. 9) описывает дугу |
′ |
τ радианов. Это означает, |
MM (= s) , касательная поворачивается на угол |
Рис. 9
что Δτ есть мера изменения направления касательной. Можно считать, что от-
Δτ |
|
|
′ |
|
|
|
ношение s есть средняя кривизна дуги MM |
. Кривизна |
k в точке M есть |
||||
|
||||||
предел средней кривизны, когда M ′ безгранично приближается к M, т. е. |
||||||
k = lim |
τ |
= dτ . |
|
|
|
|
s→0 |
s |
ds |
|
|
|
|
Иными словами, кривизна есть быстрота изменения наклона касательной к кривой относительно ее дуги. Она равняется первой производной.
8. КРУГ КРИВИЗНЫ
Отметим две произвольные точки М1 и М2 по разные стороны от данной точки М на кривой m (рис. 10).
Через три получившиеся точки можно провести одну-единственную окружность а′. Предельное положение такой окружности, когда две ее точки
Г л а в а 7. Кривые линии |
149 |
Рис. 10
стремятся к данной точке с разных сторон, называется кругом кривизны кривой в этой точке. Круг кривизны (окружность а) соприкасается с кривой в данной точке (его еще называют соприкасающейся окружностью). Центр О круга кривизны называется центром кривизны, а радиус R – радиусом кривизны. Покажем приближенное построение центра кривизны кривой линии а в некоторой точке С (рис. 11).
Рис. 11
150 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
На кривой по разные стороны от точки С отметим ряд точек и проведем из них полукасательные. От точек отложим по полукасательным равные отрезки
произвольной длины. Концы таких отрезков определяют кривую линию а1, эквитангенциальную данной кривой а. Кривая а относительно кривой а1 называется трактрисой или влекомой. Точке С кривой а соответствует точка С1 кривой а1. Нормали n и n1 в точках С и С1 пересекаются в точке Ок. Точка Ок – центр кривизны кривой а в точке С. Радиус кривизны Rк = ОкС. Кривизна
кривой а в точке С: k = 1 .
Rк
9. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА
Множество центров кривизны кривой линии определяет кривую, которую называют эволютой данной кривой. Кривая по отношению к своей эволюте
называется эвольвентой. На рис. 12 показаны: ак – эволюта кривой а; а – эвольвента по отношению к своей эволюте.
Рис. 12
Эвольвента – это траектория точки касательной прямой, катящейся без скольжения по кривой ак. Эвольвенту называют также разверткой линии ак. Так как на касательной имеется множество точек, то каждая из них описывает свою эвольвенту.
Наибольшее распространение в различных технических формах имеет
эвольвента окружности (рис. 13).
Г л а в а 7. Кривые линии |
151 |
M
Рис. 13
Окружность делят на n равных частей, например 12, в точках делений проводят полукасательные и откладывают на последней (двенадцатой) полукасательной отрезок, равный длине окружности. Отрезок делят на n равных частей. На одиннадцатой полукасательной откладывают одиннадцать частей отрезка, на десятой – десять и т. д. Через полученные точки проводят плавную кривую. На рисунке показана касательная в произвольной точке М эвольвенты.
Эвольвенты находят применение в технических изделиях, например, для образования профиля зубьев в зубчатых колесах (рис. 14).