Рис. 26

Родственное преобразование можно рассматривать как преобразование сжатия или растяжения по направлению родства. Построение точки N показывает это.

15. ОКРУЖНОСТЬ В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Окружность в плоскости общего положения изображается в виде эллипса. При его построении наибольшую трудность представляет определение величины малой оси. Рассмотрим примеры определения величин малых осей эл-

липса.

15.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА

СПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ РОДСТВЕННОГО СООТВЕТСТВИЯ

Плоскость общего положения задана горизонталью и фронталью (рис. 27). На горизонтальной плоскости проекций П1 большая ось А1В1 совпадает с направлением горизонтали плоскости и равна диаметру окружности. На фронтальной плоскости П2 большая ось С2D2 эллипса совпадает с направлением

фронтали плоскости и также равна диаметру окружности.

Рис. 27

Малые оси эллипсов определяются так. В горизонтальной проекции отметим соответственно полухорды D111 эллипса и 1121 окружности. Точка D1 принадлежит эллипсу и является родственной точкой точке 21 окружности. Полухорду 1121 вращением вокруг точки 11 совместим с большой осью. В совмещенном положении она равна отрезку 1131. Точки 31 и D1 соединим прямой линией. Получается, что точке 31, находящейся на большой оси эллипса, соответствует точка D1 эллипса. Теперь проведем прямую из точки А1 параллельно прямой D131 до пересечения в точке Е1 с направлением малой оси эллипса. Точке А1 (конец большой оси эллипса) соответствует точка Е1 (конец малой оси эллипса). Отрезок О1Е1 определяет длину малой полуоси эллипса на горизонтальной проекции окружности.

Во фронтальной проекции малая ось эллипса находится аналогично. Определив малые оси эллипсов и имея большие, можно построить любые

точки эллипса, проводя произвольные прямые, как это было показано ранее на рис. 26.

15.2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Плоскость общего положения задана следами (рис. 28). Известно, что малая ось эллипса по направлению совпадает с направлением линии наибольшего наклона плоскости окружности, а по величине зависит от угла наклона этой плоскости к рассматриваемой плоскости проекций. Этот способ основан на

Рис. 28

определении угла между плоскостью окружности и плоскостью проекций. Определение величины малой оси эллипса на горизонтальной проекции видно из рис. 28. Малая ось эллипса на фронтальной проекции определяется аналогично.

15.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА С ПРИМЕНЕНИЕМ ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ

Плоскость общего положения задана горизонталью и фронталью, проходящих через центр окружности (рис. 29).

Рис. 29

Порядок определения величины малой оси эллипса:

1)в произвольном месте плоскости окружности проводим линию наибольшего наклона EF;

2)определяем натуральную величину отрезка EF;

3)откладываем на натуральной величине отрезка EF отрезок F2D0, равный радиусу окружности;

4)обратным проецированием получаем точку D2.

Отрезок O2D2 – половина малой оси эллипса на фронтальной проекции. Аналогично определяется величина малой оси эллипса на горизонтальной

проекции.

Существуют другие способы построения эллипса. Вообще же в компьютерной графике построение эллипсов не представляет труда, вы, очевидно, уже убедились в этом.

Кривые линии второго порядка представляют значительный теоретический и практический интерес. В работе С.К. Боголюбова [11] показано применение эллипса в очертании днища котла (рис. 30).

В работе Н.А. Бабулина [20] приводится фрагмент чертежа сопла, в очертании которого имеется фигура эллипса (рис. 31).

Рис. 30

Рис. 31

На чертеже показано полное определение поверхности вращения (сопла). Линия, образующая поверхность вращения, составлена из дуг окружностей, эллипса и отрезка прямой. Эллиптический участок задан уравнением в координатной системе xОy, точки сопряжения отмечены.

В главе 8 приведены примеры использования парабол в очертаниях элементов станка.