Вероятность безотказной работы мажоритарной системы

m	n
	1	2	3	4	5
1	p	2p-p2	3p-3p2+p3	4p-6p2+4p3-p4	5p-10p2+10p3-5p4+p5
2	-	p2	3p2-2p3	6p2-8p3+3p4	10p2-20p3+15p4-4p5
3	-	-	p3	4p3-3p4	10p3-15p4+6p5
4	-	-	-	p4	5p4-4p5
5	-	-	-	-	p5

В мостиковых системахпараллельные ветви элементов соединены между собой другими элементами. В простых случаях расчет надежности мостиковой системы может быть проведен методом прямого перебора, но с учетом положения элементов в схеме.

Если схема системы не сводится к одному из простых видов соединений, прибегают к логико-вероятностному методу ее анализа, в котором применяется аппарат математической логики. Логико-вероятностный анализ состоит в разработке формальной модели системы в виде соотношений алгебры логики, определяющей условия работоспособности/неработоспособности системы. Каждый i-й элемент может находиться в одном из несовместных событий: работоспособномaили неработоспособномсостоянии. Рассмотрим пример простой мостиковой системы (рис. 2.1).

ЗАДАНИЕ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 2

Проанализировать надежность системы, изображенной на рис. 2.2. Составить логические формулы работоспособного и неработоспособного состояний. Найти выражение для вероятности безотказной работы системы P(A) и ее значение по известным значениям вероятности безотказной работы элементовp_i. Составить дерево отказов.

Рис. 2.2. Расчетная система

Варианты

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p1	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,6	0,6	0,6	0,9	0,8
p2	0,9	0,8	0,6	0,6	0,6	0,8	0,7	0,7	0,7	0,7
p3	0,7	0,9	0,8	0,9	0,6	0,9	0,9	0,8	0,7	0,8
Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
p1	0,7	0,6	0,7	0,6	0,9	0,8	0,9	0,8	0,9	0,8
p2	0,6	0,6	0,7	0,6	0,6	0,8	0,9	0,9	0,7	0,7
p3	0,7	0,6	0,7	0,7	0,7	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6

Решение. Логическая формула работоспособного состояния

.

Логическая формула неработоспособного состояния

.

Вероятность безотказной работы системы вычисляется на основе теорем сложения и умножения вероятностей:

.

В нашем случае P(A)=1 – (1 –p_A1)(1 –p_A2)= p_A1 + p_A2 - p_A1p_A2= (p_A1=p₁p₃, p_A2=p₂p₃)= p₁p₃+p₂p₃-p₁p₂p₃=p₃(p₁+p₂-p₁p₂). При равной надежности элементов системыР(А)=р²(2–р).

Примечание: При переходе от логических формул к алгебраическим операциям умножения вероятностей следует учитывать, чтоa_ia_i≡a_i.

ОТВЕТЫ

Варианты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Р(А)	0,68	0,85	0,70	0,79	0,53	0,83	0,78	0,70	0,68	0,75
Варианты	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Р(А)	0,62	0,50	0,64	0,59	0,67	0,58	0,59	0,59	0,58	0,56

7