metodichka_molekulyarka_i_mekhanika

Косвенные измерения. В математической статистике показано, что результат косвенных измерений <z> и погрешность косвенных измерений z (доверительный интервал), если зависимость имеет вид: z = f(x, y,…), определяются выражениями

< z > = f (< x >,< y >,...),

где <х>, <у>, … , – результат прямых измерений; x, y, … , – доверительные интервалы величин x, y, …, полученных в прямых измерениях. Результаты косвенных измерений записываются

Представление экспериментальных результатов

Полученные в опыте значения измеряемой величины заносятся, как правило, в таблицу либо представляются в виде графика.

Например, в табл. 2 (σ – напряжение, ℓ/ℓ0 – относительная деформация, Е – модуль Юнга) указываются единицы измерения физических величин и десятичный множитель.

1Латунь

2Алюминий

Представление результатов измерений в виде графиков необходимо для наглядности и определения ряда величин. Масштаб

тельный интервал. На рис. 3 представлен график зависимости углового ускорения ε от момента внешних сил М маятника Обербека, полученный в лабораторной работе “Изучение динамики вращательного движения твердого тела”.

12

В физике широко распространена линейная зависимость между величинами, в том числе и между теми, которые изучаются экспериментально. В этом случае наилучший вид аппроксимирующей прямой может быть выбран методом наименьших квадратов. Рассмотрим этот метод.

Пусть в эксперименте в n измерениях получены пары значе-

ний (x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn), отвечающие зависимости y = ax + b,

параметры a и b которой должны быть найдены. Предполагается, что с погрешностями определена лишь совокупность значений y. Тогда отклонение в каждом i-м измерении значения аппроксимирующей прямой от экспериментально полученного yi составляет: yi – axi – b. Наилучшие значения a и b выбираются так, чтобы

n

сумма квадратов ошибки S = ∑ ( yi − axi − b)2 была минималь-

i=1

ной. Из условия минимума следует:

Для определения a и b получается система из двух уравнений

Приближенные вычисления

Результат измерений представляет собой приближенное число, точность которого определяется ошибкой.

13

Пусть, например, в опыте с математическим маятником погрешность определения ускорения свободного падения равна 0,05 м/с2, а g равно 9,83 м/с2. Результат записывается в виде g = (9,83 ± 0,05) м/с2. Очевидно, что вычислять результат опыта с точностью до тысячных долей не имеет смысла, так как ошибка составляет сотые доли, и тем более бесполезно указывать тысячные доли при записи результата.

Полученное число (результат измерений) – приближенное, последняя цифра – сомнительная, а остальные – верные. Так получается при любых измерениях.

При записи окончательного результата оставляют только значащие цифры (верные и сомнительную). Если приближенное число входит в расчетную формулу, в нем сохраняют одну “неверную” цифру. Далее пользуются правилами вычислений с приближенными числами и правилами округления.

Оформление отчета

Отчет студента по лабораторной работе составляется по следующей схеме: 1) титульный лист; 2) цель работы; 3) оборудование; 4) теоретическое введение; 5) методика проведения эксперимента; 6) экспериментальная часть; 7) обработка результатов измерения; 8) выводы.

Титульный лист оформляется на первой странице отчета. В центральной части этой страницы указываются номер лабораторной работы и ее название. Ниже (справа) – фамилия исполнителя, номер группы и дата проведения измерений. В правом нижнем углу – три короткие строчки для подписи преподавателя: “к работе допущен”, “работа выполнена”, “работа защищена”. Со второй страницы следует описание остальных разделов отчета. Пункты 1 – 5 оформляются до начала выполнения лабораторной работы, пункт 6 – в лаборатории, пункты 7 – 8 – после получения экспериментальных данных.

14

Теоретический материал, схемы, рисунки должны быть представлены в отчете в объеме, необходимом для осмысленного выполнения лабораторной работы. Рисунки и схемы выполняются с применением чертежных принадлежностей. Графики представляются на миллиметровой бумаге и вклеиваются в отчет.

Студентам необходимо самостоятельно до начала занятий детально изучить описание лабораторной работы, используя дополнительно список рекомендуемой литературы. Качество своей подготовки студенты должны проверять, отвечая на контрольные вопросы. Домашняя самостоятельная работа студента “отражается” письменно в той части отчета, которая оформляется до начала выполнения лабораторной работы (пункты 1 – 5).

Контрольные вопросы

1.Как определяется величина систематической ошибки?

2.Как определяется величина случайной ошибки прямых измерений? На что указывает величина доверительного интервала?

3.Выразить доверительный интервал величины z, полученной при косвенных измерениях, через доверительные интервалы величин x, y, t, r, u, v, h, полученных в прямых измерениях, для следующих зависимостей:

а) z = π r2h; б) z = r(x2 – y2)/t4(u2 – v2); в) z = x2 cos y.

4.Как изобразится на графике погрешность величины, отложенной вдоль оси абсцисс?

Список рекомендуемой литературы

1.Деденко, Л. Г. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента / Л. Г. Деденко, В. В. Керженцев. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1977. – 112 с.

2.Сквайрс, Дж. Практическая физика / Дж. Сквайрс. – М. :

Мир, 1971. – 248 с.

3.Физический практикум. Механика и молекулярная физика / под ред. В. И. Ивероновой. – М. : Наука, 1967. – 352 с.

15

4.Лабораторный практикум по физике. Механика / под. ред. А. А. Кулиша ; Владим. политехн. ин-т. – Владимир, 1992. – 68 с.

5.Методические указания к лабораторным работам по физике. Молекулярная физика / под ред. А. А. Кулиша ; Владим. политехн. ин-т. – Владимир, 1992. – 40 с.

Раздел 1. МЕХАНИКА

В лаборатории механики студенты используют разнообразные измерительные инструменты и автоматизированные установки. Лабораторные работы по механике направлены на освоение студентами методов статистической обработки данных физического эксперимента, методов исследования основных закономерностей поступательного и вращательного движения тел. Также изучаются свойства ряда важнейших механических величин.

Лабораторная работа № 1-1

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: определение параметров распределения результатов измерений и получение приближенного вида функции распределения.

Оборудование: микрометр, штангенциркуль, наборцилиндров.

Введение

Набор цилиндров (100 … 200 шт.), используемый в данной лабораторной работе, – это совокупность одинаковых объектов, изготовленных в одинаковых условиях. Поэтому при измерении высоты (или диаметра) цилиндров, казалось бы, должна получаться одна и та же физическая величина. Однако в силу влияния большого количества причин, действующих случайно, совокупность высот цилиндров представляет собой набор случайных величин, моделирующих разброс результатов отдельных измерений в физическом эксперименте.

16

Это распределение характеризуется параметрами:

Если бы число измерений было бесконечно большим, то <h> совпадало бы с истинным значением высоты цилиндра, а Sn – c σ. График распределения отдельных значений hi относительно <h> имел бы вид, как на рис. 2 сос. 9. Числоизмеренийограничено, но и в этом случае удается получить приближенный вид функции распределения результатов измерений, построив гистограмму (столбчатую диаграмму).

Для построения гистограммы необходимо отрезок hmax – hmin (где hmax – максимальное из измеренных значений высот цилиндра, hmin – минимальное из измеренных значений высот цилиндра) разбить на N равных интервалов величины h, подсчитать число “попаданий” ni значений высот цилиндров в каждый интервал и относительную частоту “попаданий” в каждый интервал fi = ni / n.

Если значение высоты цилиндра попадает на границу интервалов, то этот цилиндр учитывается в правом интервале. Для количественного сравнения кривой Гаусса с гистограммой в последней по оси ординат необходимо отложить величину оценки

плотности вероятности каждого интервала nni h . Проделанные разбивка и расчеты отображаются в следующей таблице.

17

вторая – частоте попадания значений высот цилиндров в соответствующий интервал.

Порядок выполнения работы

1.Измерить высоты 100 … 200 цилиндров и результаты внести в отчет.

2.Определить по полученным значениям высот цилиндров: максимальное из измеренных значений высот цилиндров, минимальное из измеренных значений высот цилиндров, среднее значение высоты цилиндров, дисперсию распределения, среднеквадратичную погрешность распределения.

3.Разбить отрезок hmax – hmin на 6 … 8 интервалов. Определить число попаданий и относительную частоту попаданий для каждого интервала. Полученные значения представить в табличной форме (см. выше).

4.Построить гистограмму для распределения относительной частоты попаданий fi на миллиметровой бумаге.

18

5. Построить гистограмму оценки плотности вероятности ni/(n h). Изобразить пунктиром там же Гауссову кривую по рассчитанным в п. 2 значениям <h> и σ2, воспользовавшись форму-

Сравнить Гауссову кривую с гистограммой оценки плотности вероятности и проанализировать полученные результаты.

Контрольные вопросы

1.Как построить гистограмму?

2.Чем определяется число интервалов, на которое разбивается отрезок hmax – hmin при построении гистограммы?

3.Как в эксперименте добиться того, чтобы гистограмма точнее отображала функцию распределения результатов эксперимента?

4.Укажите способ определения дисперсии по известному виду кривой функции распределения.

Список рекомендуемой литературы

1.Смирнов, Н. В. Курс теории вероятностей и математической статистики / Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский. – М. :

Наука, 1965. – 511 с.

2.Савельев, И. В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн. 1. Механика / И. В. Савельев. – М. : АСТ:Астрель, 2005. – 336 с. – ISBN 5-17-002963-2.

3.То же. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. –

М. : АСТ:Астрель, 2005. – 208 с. –ISBN 5-17-004585-9.

4.Физический практикум. Механика и молекулярная физика / под ред. В. И. Ивероновой. – М. : Наука, 1967. – 352 с.

5.Методические указания к лабораторным работам по физике с обработкой результатов экспериментов на персональном компьютере / под ред. В. С. Плешивцева ; Владим. гос. ун-т. –

Владимир, 1999. – 44 c.

19

Лабораторная работа № 1-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПИКНОМЕТРОМ

Цель работы: освоение методов точного взвешивания на аналитических весах, определение плотности твердых тел и типа вещества.

Оборудование: кусочки однородного твердого тела, аналитические весы типа “W”, пикнометр, разновес, сосуд с дистиллированной водой, фильтровальная бумага, термометр, пипетка.

Введение

Плотность ρТ однородного вещества определяется отноше-

нием: ρT = Vm , где m – масса вещества, V – объем. Масса вещества

может быть найдена с помощью взвешивания тела на аналитических весах, объем – с помощью пикнометра и ряда операций взвешивания на аналитических весах.

В данной работе используются аналитические весы типа “W”, предельная нагрузка которых составляет 200 г, а точность отсчета – 0,1 мг. Прилагается инструкция с описанием аналитических весов.

Основные правила взвешивания следующие:

1.Весы в свободном состоянии необходимо арретировать, т. е. поднять основную часть аналитических весов – коромысло. Арретирование производится медленно и плавно.

2.Грузы и разновесы помещаются и снимаются с чашек только после арретирования весов.

3.Измерения проводятся при выключенном арретире. Пикнометр представляет собой стеклянный сосуд неизмен-

ного объема, на горлышко которого нанесена метка. Жидкость в пикнометре должна устанавливаться только на уровне метки. При выполнении лабораторной работы этого добиваются с помощью пипетки. Пикнометр используется для определения объе-

20