Плин ньютонівської рідини по горизонтальній трубці

Формула Пуазейля. Плин в’язких рідин по циліндрич­них трубках має для медицини особливий інтерес. Судинна система може бути представлена сіткою циліндричних тру­бок різного діаметра, лінійна й об’ємна швидкості плину рідини по яких залежить не лише від властивостей рідини, а й від геометричних розмірів судин. Визначимо лінійну й об’ємну швидкості плину для стаціонарного потоку в’язкої рідини крізь судину радіусом R, довжиною L, з перепадом тиску на його кінцях P₁ – P₂ (мал. 3.16).

Запишемо рівняння руху (3.24) для стаціонарного плину ньютонівської рідини, коли зовнішні сили дорівню­ють нулеві, і сила тяжіння не впливає на плин рідини:

–P + f_тр = 0 абоP = f_тр. (3.25)

Припустимо, що градієнт тиску вздовж трубки струму є постій­на величина: P = (Р₂ – Р₁)/L. Об’ємна сила тертя f_тр дорів­нює (3.8):

,

де S₁ = 2rdx – площа бічної поверхні циліндра, S₂ = r² – площа перерізу циліндра радіуса r. Підставивши ці вирази у рівняння (3.25), отримаємо диференційне рівняння, що ви­зна­чає зміну швидкості рідини вздовж радіуса трубки:

dυ = –rdr.

Проінтегруємо це рівняння

υ = –r² + С,

де сталу інтегрування С знаходимо з умови υ = 0 на границі судини, тобто при r = R. Це дає С = R². В результаті отримуємо формулу Пуазейля, яка визначає профіль швид­кос­ті ньютонівської рідини в циліндричній трубці

υ = (R² – r²). (3.26)

З цієї формули випливає, що профіль швидкостей ньюто­нівсь­кої рідини в циліндричній трубці описується парабо­ліч­­ним законом (мал. 3.17а).

Формула Пуазейля дозволяє визначити об’ємну швид­кість плину ньютонівської рідини. Виділимо у перерізі труб­ки шар рідини товщиною dr і площею dS = 2rdr (мал. 3.17б). Об’єм рідини, що протікає крізь цю площу за одиницю часу, дорівнює

dQ = υ(r)dS = υ(r)2rdr.

Мал. 3.17. Характеристики плину ньюто­нівсь­кої рідини по циліндричній трубці: а) профіль швидкостей; б) переріз трубки струму.

Підставивши в цю формулу вираз (3.26) для швидкості і інтегруючи отримане рівняння, дістанемо формулу, що доз­во­ляє визначити об’ємну швидкість рідини:

(3.27)

Помноживши об’ємну швидкість рідини на час плину, отрима­ємо формулу для визначення об’єму рідини V, що протікає через переріз судини за час t:

(3.28)

З формул (3.27) та (3.28), які звуться формулами Гагена–Пуазейля, випливає, що кількість рідини, яка протікає крізь судину, найбільш суттєво залежить від його радіуса і зменшу­ється із зростанням в’язкості рідини.

Формула (3.27), що зв’язує між собою об’ємну швид­кість ріди­ни і різницю тисків на кінцях судини, має вигляд, аналогічний закону Ома:

Q = (P₁ – P₂)/W, (3.29)

тому величину W = 8L/(R⁴) називають гідравлічним опо­ром.

Г

рафічні зображення зв’язку Q–P називають діаграма­ми “витра­та–тиск”. Їх вигляд для ньютонівської рідини і рідини, в’язкість якої залежить від градієнта швидкості (на­при­клад, для крові), подані на мал. 3.18.

Мал. 3.18.Діаграми “витрата–тиск” для ньютонівської (1) та неньютонівської (2) рідин.