Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1262 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Chast_1_l_1_2

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
20.03.2015
Размер:
515.52 Кб
Скачать
☆

Рис. 1.22. Сферическая система координат

grad

e

 

1

 

 

e

 

1

 

 

e

r

r sin

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

 

Ar

 

 

 

 

 

 

 

A sin r

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

divA

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

r

2

sin

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

A

sin

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rotA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

er

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1 A

 

 

 

 

rA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 rA

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

r2 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Площадь, как вектор. Циркуляция dl . Поток dS

l

S

21

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

Пусть имеется треугольник. Образуем вектор a . Модуль этого вектора – основание треугольника. Соединим вершину треугольника противоположную основанию с любой точкой взятой на основании. Тем самым образован вектор b (рис. 1.23).

Рис. 1.23. К выводу выражения для площади треугольника, равной половине векторного произведения

Имеем:

22

 

 

 

 

 

 

 

 

ab sin ab

 

 

h

 

 

a h 2S .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

1

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор S направлен «к нам» (рис. 1.23).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Циркуляция dl (рис. 1.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dl 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.24. К доказательству выражения dl 0

l

n

dl li .

l i 1

(1.25)

(1.26)

Сумма – есть вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора

(точка А), а конец которого совпадает с концом последнего вектора (точка В).

n

Так как точки А и В совпадают, то li 0 . Следовательно, справедливо

i 1

выражение (1.26).

Поток dS .

S

Покажем, что

 

 

 

 

 

dS 0

.

(1.27)

S

 

 

 

 

23

С помощью трубки, параллельной оси x , выделим на замкнутой поверхности S две площадки S1 и S 2 (рис 1.25). Спроектируем эти площадки на ось x .

Рис. 1.25. К доказательству выражения dS 0

S

S1x S2x S S 0,

где S – площадь сечения трубки. Так как всю замкнутую поверхность S

можно представить как совокупность таких пар, то получаем

 

 

 

 

 

 

dSх 0 .

 

 

 

 

 

dS

 

 

S

 

 

x

S

Аналогично

dS y 0 и

 

dSz 0 . Из этих трех равенств следует (1.27).

S

 

 

S

 

 

 

9. Тождества векторного анализа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тождество

div

E

H

 

HrotE ErotH

.

(1.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим справедливость этого тождества.

Левая часть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

ey

 

ez

 

 

 

div

 

 

 

 

div

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

H

E

x

E

y

 

E

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H x

H y

H z

 

 

 

Ey H z Ez H y

 

 

 

Ez H x Ex H z

 

 

 

Ex H y Ey H x

x

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

H

 

 

Ey

E

 

 

 

H

z

H

E

z

 

E

 

 

 

H y

 

H

 

 

E

z

 

E

 

H

x

 

 

 

z x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

z x

 

x y

z y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

E

x

E

 

 

 

 

H

z

H

E

x

E

 

 

 

H ó

 

H

 

 

Ey

E

 

H

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

õ z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y z

 

Правая часть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

ey

 

 

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

ey

 

 

 

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HrotE ErotH H

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

z

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ex

 

 

Ey

 

 

 

Ez

 

 

 

 

 

 

 

H x

H y

 

 

H z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

Ey

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

E

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Ey

 

 

E

x

 

 

 

 

 

H x

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

H y

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

H z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

H y

 

 

 

 

 

H

 

 

 

H

z

 

 

 

 

 

 

 

H y

 

 

H

x

 

 

Ex

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Ey

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

y

 

 

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

Легко видеть, что левая и правая части совпадают.

Тождество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div

 

 

 

grad divu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.29)

u

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим справедливость этого тождества. Имеем:

 

 

 

 

 

div

 

div u

 

e

u

 

 

 

e

 

u

e

 

 

 

 

 

 

u

x

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux

 

 

 

u

y

 

 

 

uz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

u

x

u

 

 

 

 

uy

 

 

u

 

 

 

u

z

x x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

ux

 

uy

 

uz

 

 

 

u

x

 

uy

 

u

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

z

 

 

u grad divu

что и требовалось доказать.

Тождество

rot rot

 

 

 

grad div

 

 

 

A

A

A

(1.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим справедливость этого тождества.

Левая часть:

25

rot rot A rot

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

A

Ay

 

z

 

 

 

 

z

 

y

 

ex

 

 

ey

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

Ax

 

 

Ay

 

Az

 

 

ey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

Ax Az

z x

 

A

Ay

 

A

A

Ay

 

A

 

 

rot

z

 

ex

x

z

ey

 

 

x

ez

 

z

 

x

 

 

y

 

 

z

x

 

 

y

 

 

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ay

 

A

 

 

A

A

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

z

 

 

 

z

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

z

z

x

 

Ay

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

Ay

 

 

 

 

 

 

 

 

Ay

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

Ay

 

ey

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

z

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

x

z

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Ay

 

2 A

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

2 Ay

 

 

 

2 Ay

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z y

 

 

z2

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

z x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

A

 

 

2

A

 

 

 

 

 

 

 

 

2

A

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x z

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

y z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правая часть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

Ay

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A grad div A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ex Ax ey Ay ez Az

 

 

 

 

2

 

 

ex Ax

ey Ay ez Az

 

2

 

 

ex Ax ey Ay ez Az

x2

 

y2

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

Ay

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

Ay

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

Ay

 

 

A

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

2 Ay

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

x z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Ay

 

 

 

 

 

 

2 Ay

 

 

 

 

 

2 Ay

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

2 Ay

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

y2

 

z2

 

 

y x

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

2 A

2 A

2 A

 

2 A

 

2 Ay

 

2 A

 

e

 

 

z

z

z

 

x

 

 

 

z

.

z2

z x

z y

z2

 

z

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Видим, что левая и правая части совпадают.

Первое тождество Грина

 

grad grad dV

dS

.

(1.31)

 

V

S

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, n

– единичная

нормаль к S, направленная изнутри во внешность.

 

 

 

 

 

Для доказательства этого тождества применим теорему Гаусса-

Остроградского (1.10) для векторного поля grad

 

 

 

 

 

 

 

div grad dV grad dS

.

(1.32)

 

V

S

 

 

 

 

 

Для преобразования левой части применим тождество (1.29)

 

div grad dV grad grad div grad dV .

 

V

V

 

 

 

 

 

Но div grad , поэтому левая часть (1.32):

div grad dV grad grad dV .

(1.33)

V

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

Так как проекция grad на направление dS

( dS n dS ) равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

правая часть (1.32):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS .

 

 

 

 

grad dS

 

 

 

(1.34)

S

 

 

S

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (1.32), (1.33) и (1.34) следует (1.31).

Вопросы и задачи к лекции 2

12-1. Что называется потоком векторного поля сквозь поверхность в выбранном направлении?

27

13-2. Как изменится величина потока, если изменить ориентацию поверхности?

14-3. Дайте определение дивергенции векторного поля.

15-4. Вывести выражение для дивергенции в декартовой системе координат.

16-5. Сформулируйте теорему Гаусса-Остроградского.

17-6. Что называется линейным интегралом векторного поля вдоль линии в выбранном направлении?

18-7. Дайте определение ротора векторного поля.

19-8. Вывести выражение для ротора в декартовой системе координат.

20-9. Сформулируйте теорему Стокса.

21-10. Запишите уравнения Лапласа и Пуассона в общем виде и в декартовой системе координат.

22-11. Докажите, что площадь треугольника S

1

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

, где a - вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

основания треугольника, а b

вектор, опущенный с вершины треугольника,

противоположной основанию a , на основание a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23-12. Докажите справедливость формул:

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dl 0

 

dS 0 .

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверьте справедливость формулы: div

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24-13.

E

 

H

H

rotE

E rotH .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25-14.

Проверьте справедливость формулы: div

 

 

 

grad divu .

u

u

26-15.

Проверить справедливость формулы: rot rot

 

 

 

grad div

 

в

A

A

A

декартовой системе координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27-16.

Докажите справедливость первого тождества Грина

 

grad grad dV

dS .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

S

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности