Chast_1_l_1_2

11

x, y,z M .

Векторная функция от координат называется векторным полем:

A A x, y,z A M .

Градиент скалярного поля

Градиентом скалярного поля в точке М пространства называется вектор, модуль которого равен максимальному (при изменении направления n

проходящего через точку М ) значению производной (направление, при

n

котором наступает максимум указанной производной, обозначим через es ), а

направлен этот вектор по направлению максимального возрастания функции , т.е. по es (рис. 1.9).

Другими словами. Градиентом скалярного поля в точке М пространства называется вектор, модуль которого равен наибольшей скорости возрастания скалярной функции в данной точке М , а направлен этот вектор в направлении наибольшего возрастания функции в точке М .

Рис. 1.9. К определению градиента скалярного поля

Итак, проекция градиента на любое направление n равна

gradn M .n

В частности проекции градиента на оси декартовой системы координат

При стремлении объема V к нулю этот объем стягивается к точке М .

Исходя из определения (1.7), получим выражение для градиента в декартовой системе координат. В качестве объема V возьмем куб с ребром

x y z . Точка М расположена в центре куба (рис. 1.10).

13

Рис. 1.10. К выводу выражения для градиента в декартовой системе координат из второго определения

Составляющая правой части (1.7), обусловленная интегралами по правой

и левой грани куба, равна:

части (1.7), обусловленная интегралами по ближней и дальней грани куба,

равна M ez . В результате получаем формулу (1.6).

z

Вопросы и задачи к лекции 1

1-1. Назовите основоположников классической электродинамики и годы основных открытий.

2-2. Как графически найти сумму двух векторов?

3-3. Как графически найти разность двух векторов?

4-4. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

5-5. Запишите выражение скалярного произведения через проекции векторов в декартовой системе координат.

6-6. Дайте определение векторного произведения двух векторов.

7-7. Запишите выражение векторного произведения через проекции векторов в декартовой системе координат.

8-8. Проверьте справедливость формулы «бац минус цаб»

14

a b c b a c c a b .

9-9. Дайте определение скалярного и векторного полей.

10-10. Дайте определение градиента скалярного поля (одного из двух или

оба).

11-11. Выведите выражение для градиента в декартовой системе координат.

Лекция 2 5. Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема

Гаусса-Остроградского

Поток векторного поля

Возьмем площадку S (на рис. 1.11 она изображена в сечении) в области существования векторного поля A A x, y,z . Выберем нормаль n к площадке в одном из двух направлений. Введем вектор S n S ; длина вектора n равна единице.

Потоком векторного поля A сквозь площадку S в направлении n

(рис. 1.11) называется величина

A S cos .

Рис. 1.11. К определению потока векторного поля сквозь элементарную

площадку.

Другие выражения для

An S A S A SÀ ,

A M dS M .

S

Рис. 1.12. К определению потока векторного поля сквозь поверхность

Название поток пришло из теории движения жидкости. Если v - скорость движения частиц жидкости, то v cos S vn S v S - поток жидкости сквозь площадку S за единицу времени в направлении n (рис. 1.13) (объем жидкости, прошедшей сквозь площадку S за единицу времени в направлении n ).

Рис. 1.13. Поток поля скоростей жидкости сквозь площадку

Дивергенция векторного поля

По определению (рис. 1.14):

Рис. 1.14. К определению дивергенции векторного поля

16

Получим выражение для дивергенции в декартовой системе координат

(рис. 1.15).

Поток сквозь правую и левую грани параллелепипеда, деленный на V:

Рис. 1.15. К выводу выражения для дивергенции в декартовой системе

координат

Ax x x, y,z 2 y 2 z Ax x x, y,z 2 y 2 z . 2 x 2 y 2 z

В пределе при V 0 ( x 0 ) это выражение будет равно Ax M .

x

Аналогично можно получить выражения для потоков сквозь верхнюю и нижнюю грани, а также сквозь ближнюю и дальнюю грани параллелепипеда.

В результате получаем:

Теорема Гаусса-Остроградского

Теорема Гаусса-Остроградского записывается так:

непрерывны внутри S вместе со своими первыми частными производными.

Теорему приводим без доказательства.

6. Линейный интеграл и циркуляция вектора. Ротор векторного

поля. Теорема Стокса

18

Ротор векторного поля

Ротором векторного поля A называется

Рис. 1.18. К определению ротора векторного поля

Точка M лежит на площадке Sx , которая перпендикулярна орту ex .

Направление вычисления циркуляции (стрелка на контуре) связано с ex

правилом правоходового винта.

Аналогично определяются roty A и rotz A .

В декартовой системе координат (рис. 1.19):

Рис. 1.19. К выводу выражения для ротора в декартовой системе

координат

Градиент, дивергенция, ротор и лапласиан в цилиндрических и

сферических координатах

Формулы приводятся без вывода:

Цилиндрические координаты (рис. 1.21):

Рис. 1.21. Цилиндрическая система координат

Сферические координаты (рис. 1.22)