Chast_4_4_l_30_31

326

Связь между амплитудами полей E и B :

Em Bm .

Фазовый сдвиг между этими полями равен 4 .

Глубиной проникновения поля h называют толщину проводника от поверхности, на которой амплитуда уменьшается в e 2,72 раз. Очевидно:

Наконец, рассмотрим граничное условие Леонтовича. Из предыдущего следует, что внутри металла

Ex j By .

Эта связь справедлива как внутри металла, так и на границе. Это и есть граничное условие Леонтовича.

Вопросы и задачи к лекции 30

327

309-1. Запишите дифференциальные уравнения внутри магнита для зарядовой модели. Как выражается плотность магнитного заряда внутри магнита через вектор намагниченности?

310-2. Выведите выражение для поверхностной плотности магнитного заряда на поверхности магнита.

311-3. Запишите дифференциальные уравнения внутри магнита для токовой модели. Как выражается плотность микротока внутри магнита через вектор намагниченности?

312-4. Выведите выражение для поверхностной плотности микротока на поверхности магнита.

313-5. Запишите формулы вычисления магнитного поля постоянно магнита тремя способами.

314-6. Два бесконечно длинных цилиндрических постоянных магнита намагничены однородно вдоль своих осей, причем J1 J2 (рис. 4.69).

Соединены магниты так, как показано на рис. 4.69. Найдите поля H и B во всем пространстве.

Рис. 4.69. Два цилиндрических постоянных магнита

315-7. Какое поле называют квазистационарным?

316-8. Найдите выражение для поля B внутри проводника, на который падает монохроматическая линейно поляризованная электромагнитная волна.

317-9. Найдите выражение для поля E внутри проводника, на который падает монохроматическая линейно поляризованная электромагнитная волна.

318-10. Дайте определение и запишите выражение для глубины проникновения электромагнитного поля внутрь проводника.

319-11. Получите граничное условие Леонтовича.

328

Лекция 31

70. Плоские электромагнитные волны в веществе. Комплексная

диэлектрическая проницаемость

монохроматическая плоская линейно поляризованная волна (рис. 4.70).

Пусть волна поляризована вдоль оси x , т.е. вектор E имеет только x -овую компоненту. Найдем выражения для полей E и H .

Рис. 4.70. Плоская монохроматическая линейно поляризованная волна в среде с параметрами ε,μ,γ

Исходными для анализа являются уравнения Максвелла:

Так как рассматривается синусоидальный режим, то можно применить комплексный метод анализа, то есть систему (4.156) записать в комплексной форме записи:

Если взять дивергенцию от левой и правой частей равенства (4.158) и

учесть, что div rot H 0, то получим

div E 0 .

Сравнивая это уравнение с (4.161) заключаем, что 0 . Аналогично уравнение (4.160) является следствием уравнения (4.159). Последняя система

Коэффициент при E в правой части (4.162) представим в виде

диэлектрической проницаемостью. Тогда система уравнений приобретает вид

Возьмем ротор от левой и правой частей (4.167) и учтем (4.166): rot rot E 2 E .

Или

E grad divE 2 E

Так как в соответствии с (4.169) div E 0 , то

E 2 E .

Если учесть, что E ex E z , то последнее уравнение принимает вид

Под k будем понимать следующее значение корня (рис. 4.71):

Рис. 4.71. Под k понимается комплексное число с положительной вещественной частью и отрицательной мнимой частью

331

То есть k имеет положительную вещественную часть и отрицательную мнимую часть.

Для получившегося обыкновенного дифференциального уравнения с

постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение и решаем его.

p2 k 2 , p1,2 jk .

В силу наличия тепловых потерь волна должна затухать в направлении

распространения. Поэтому подходит только второе значение корня

комплексную амплитуду напряженности магнитного поля. Для этого воспользуемся уравнением (4.167). Из этого уравнения

H Eme jkz .

E

Отношение имеет размерность сопротивления и называется волновым

H

сопротивлением среды

332

Перейдем к функциям времени. Обозначим k j . Тогда:

E z,t Eme z sin t z ,

Обозначим также:

ge j .

Тогда:

H z,t gEme z sin t z .

Здесь - коэффициент затухания, - коэффициент фазы.

Найдем выражения для фазовой скорости и длины волны через и .

Фазовую скорость найдем из выражения:

t z const .

Дифференцируем это выражение по времени:

vф 0 .

Отсюда vф .

Таким образом, фазовая скорость волны в диэлектрике меньше фазовой скорости в пустоте, т.е. меньше c .

Длина волны находится из выражения

2

Отсюда

333

2 .

Или

2 v ф v ф ,

f

где f - частота в герцах.

Зарисуем графики E и H от z для фиксированного момента времени для двух случаев: 0 (рис. 4.72) и 0 (рис. 4.73).

При 0 0 и 0 . Тогда:

E z,t Em sin t z , H z,t gEm sin t z ,

При 0 :

71. Отражение волн от проводников и диэлектриков

Рассмотрим случай, когда на пути линейно поляризованной

монохроматической волны (поляризация вдоль x ), распространяющейся вдоль оси z в среде с параметрами 1 , 1 , 1 0 , расположен идеальный проводник с плоской границей, то есть среда с параметрами , , .

335

Рис. 4.74. Падение плоской волны на проводник

Первичную электромагнитную волну мы можем записать в виде

E Eme jkz ,

k 1 1 .

В силу граничного условия на поверхности идеального проводника

(внутри идеального проводника электромагнитное поле отсутствует)

электрического поля. Но E 0 Em . Поэтому в среде с параметрами 1 , 1 ,

1 0 должна существовать отраженная волна, распространяющаяся против оси z . Ее можно записать в виде

Eотр Eотр.me j e jkz

Используя граничное условие (4.171) получаем:

Em Eотрm e j 0 ,

Em Eотр.m cos jEотр.m sin ,

Отсюда

sin 0, cos 0.

Поэтому и Eотр.m Em .

Результирующее электрическое поле в диэлектрике

Найдем магнитное поле: