Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1262 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Posobie_fizika_dlya_KSS__mekhanika

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
20.03.2015
Размер:
1.02 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

 

- 41 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: V

 

;

 

dV

 

1

 

 

 

dS

 

2

;

 

2

t ;

S

V (t)

 

 

 

 

 

 

 

dt

2 S

dt

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 4

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A Ek

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №27 (№ 1.142 из сборника задач [5]). Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от

пройденного пути S по закону T S 2 , где – постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от S.

Решение:

dT

N F V 2 S

dS

;

F 2 S ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m V 2

 

2 T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

;

F

4 2 S 2

4 2 S 4

 

2 S 1

S 2

.

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

R 2

 

 

 

R 2

Задача №28 (№ 1.160 из сборника задач [5]). Небольшое тело A начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в

полуокружность радиуса h . Пренебрегая трением, найти скорость тела

2

в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

Решение: cos

2

;

V 2

 

2 g

(1 cos ) ;

R

h

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

0

 

R

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 2

 

1

 

g h ;

V

 

V cos

 

2

 

1

g h .

0

3

 

 

Г

 

 

0

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №29 (№ 1.161 из сборника задач [5]). На нити длины l подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?

Решение: Точка подвеса неподвижна в своей СО:

m V 2

 

m V 2

R l ;

0

 

 

m g 2 l ;

2

2

 

 

 

 

m g ;

V0 g R 4 g l 5 g l .

m V 2

 

2

R

 

Задача №30 (№ 1.146 из сборника задач [5]). Два бруска с массами m1 и m2, соединенные недеформированной легкой пружинкой, лежат на

- 42 -

горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен k. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску с массой m1, чтобы другой брусок сдвинулся с места?

Решение: F x k m

g x

k y

x 2 ; k

 

x k m

 

g ;

 

y

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F k m g

1

k m

 

g ;

F k g (m

1

m

) .

1

2

 

2

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5.4. Закон сохранения момента импульса

Третьим фундаментальным законом сохранения в механике является закон сохранения момента импульса. Этот закон является следствием изотропии пространства, в результате которой поворот осей декартовой системы координат никак не влияет на физические законы.

Рассмотрим традиционный подход, без использования принципа наименьшего действия и функции Лагранжа, в котором закон сохранения момента импульса выводится в качестве следствия законов Ньютона.

Введем момент импульса МТ относительно точки О по аналогии с

 

 

 

 

моментом силы L r , p r , mv . Например, для однородного тела,

имеющего ось симметрии и вращающегося вокруг этой оси получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

L r ,

, R dV R

 

dm I ,

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

где:

 

радиус вектор точки,

 

 

вектор

перпендикулярный оси

r -

R -

вращения

 

и

 

соединяющий

 

ось

и

точку

тела,

величина

I R2

dm -

называется

 

моментом инерции

тела,

здесь

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

также

использовано

правило

раскрытия

двойного

векторного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произведения: [a,[b, c]]

b(a, c) c(a, b) .

 

 

 

 

Отметим,

что

в

общем

случае

тел

произвольной

формы с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произвольно распределенной массой, направления векторов и

L не

совпадают и связь между ними осуществляется с помощью тензора инерции. Для проекции на ось вращения S всегда имеет место

равенство: LS I .

Выведем закон сохранения импульса из законов Ньютона. Для этого продифференцируем момент импульса по времени:

dL

dt

 

 

 

 

- 43 -

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

r , mv r , mv

r

, mv .

dt

Учтя второй закон Ньютона и тот факт, что второе слагаемое равно

нулю получим: dLdt M .

Для системы частиц имеет место равенство:

 

 

 

M i,Внуешн

 

dL M i,Внутр

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

и с учетом M i,Внутр 0

окончательно получим:

,

dL ,

dt M i,Внуешн

откуда следует, что момент импульса замкнутой системы МТ остается постоянным.

Вопросы для контроля:

Из какого фундаментального физического принципа следует закон сохранения энергии? Импульса? Момента импульса?

Что такое импульс силы?

Что сохраняется при неупругом ударе: векторная сумма импульсов? сумма кинетических энергий частиц?

Что такое реактивное движение?

Запишите и объясните формулу Мещерского.

Запишите и объясните формулу Циолковского.

От чего зависит сила тяги ракеты?

В каких случаях центр масс отличается от центра импульса? Какое из этих понятий более фундаментально?

Что такое центр тяжести тела? Может ли центр тяжести отличаться от центра масс?

Может ли центр масс лежать вне тела?

Зависит ли работа силы, затрачиваемая на изменение скорости тела от характера этого изменения?

Как называются стационарные силы, работа которых не зависит от формы траектории?

Каким равенством вводится потенциальная энергия?

Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

Что такое момент импульса тела? Куда он направлен?

Что такое момент инерции тела?

В каких случаях момент импульса тела сохраняется?

Как изменится угловая скорость вращения фигуриста, если его момент инерции уменьшить в два раза?

Рис.9

- 44 -

1.6. Элементы статики

Статика – раздел механики, в котором изучают условия равновесия тел под действием сил. Принципы статики:

1.Силы можно складывать и вычитать в соответствии с правилами сложения и вычитания векторов.

2.Точку приложения силы можно переносить вдоль ее направления, не меняя действие силы на тело.

3.Силу можно разложить на векторные составляющие.

Первое условие равновесия тела является очевидным следствием

N

второго закона Ньютона Fi 0 , и является необходимым, но

i 1

недостаточным условием равновесия, так как тело может совершать ускоренное вращательное движение под действием пары сил, рис.7. Второе условие равновесия, называемое правилом моментов, следует из закона сохранения энергии и составляет вместе с первым условием необходимые и достаточные условия равновесия тел.

Выведем правило моментов из закона сохранения энергии.

Всоответствии с общим

принципом,

энергия

тел,

 

 

 

находящихся

в

равновесии

 

 

 

минимальна

(устойчивое

 

 

 

равновесие),

максимальна

 

 

 

(неустойчивое равновесие), или

 

 

 

постоянна

(безразличное

 

 

 

равновесие). В любом случае

 

 

 

энергия тела, находящегося в

 

 

 

 

Рис.10

 

равновесии не

изменяется

при

 

 

малом виртуальном

повороте

 

 

 

 

 

 

тела на угол

(при сохранении

 

 

 

 

 

 

связей в системе тел), рис.10. Следовательно, виртуальная работа всех

= = F R F d M ,

- 45 -

сил, действующих на тело равна нулю. Виртуальная работа силы F

при виртуальном перемещении S равна:

A F S F R cos

где M – момент силы, d – плечо силы. Таким образом, работа равна произведению момента силы на угол поворота. А так как суммарная работа равна нулю, то и алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил должна равняться нулю.

В общем случае момент силы вводится как векторная физическая

 

 

 

величина, равная M r, F .

Таким образом, второе условие

N

 

 

равновесия тел имеет вид: M i

0 .

i 1

Вопросы для контроля:

Как в общем случае вычисляется момент сил?

Сформулируйте два условия равновесия тел.

В каком случае ось для вычисления моментов сил может быть выбрана произвольным образом?

- 46 -

1.7. Механика твердого тела

Кинематика вращательного движения.

Вращательное движение твердого тела удобно описывать с помощью угловых величин, так как они принимают одинаковые значения для всех точек вращающегося тела.

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но и направление вращения, вводят угловую скорость в качестве векторной

 

 

 

 

 

d

 

 

величины

 

. По определению вектор

 

направлен вдоль оси

dt

вращения так, что направление вращения и направление образуют правовинтовую систему. По аналогии введем вектор углового

ускорения d .* dt

Найдем

связь

 

между

угловой

и

линейной

скоростью:

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v lim

t 0

 

lim

t 0

R

 

 

=

R lim

t 0

 

 

 

 

 

R .

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

В векторном виде

 

связь

между

векторами

угловой

и

линейной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скорости

 

 

 

 

 

выглядит

 

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см.

 

рис.11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v , r ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

получаем

для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ускорения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

dv

 

R R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7.1. Кинетическая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

энергия вращающегося

 

 

 

 

 

 

 

Рис.11

 

 

тела. Момент инерции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

 

 

 

тело

 

вращается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно неподвижной оси с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угловой скоростью , то его кинетическая энергия равна:

 

 

 

 

 

K

1

v2 dm

1

 

2

R2 dV

1

I 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

2

 

 

 

2

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* строго говоря, и являются не истинными векторами, а псевдовекторами (аксиальными векторами), так как при инверсии координатной системы они не меняют знаки проекций, в отличие от истинных (полярных) векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 47 -

 

 

 

где I R2

dm - момент инерции тела.

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При плоском движении* кинетическая энергия тела равна:

 

K

1

m v

 

2

1

I

 

2 , где

v

 

- скорость центра масс,

I

 

- момент

 

c

 

C

c

c

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, см.[ 2 ]. При практическом вычислении моментов инерции бывает полезно свести момент инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела

I IC m a2 , где a - расстояние между параллельными осями. Это

соотношение выражает теорему Штейнера, см. [ 1 ].

1.7.2. Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной

оси. Из полученного ранее выражения

LS

I

после

дифференцирования по времени, и с учетом

dLS

M

 

получим

dt

S

 

 

 

 

 

 

 

основное уравнение динамики вращательного движения M S I .

Это уравнение является аналогом второго закона Ньютона для вращательного движения. Из этого уравнения видно, что момент инерции играет роль массы, т.е. является мерой инертности по отношению к вращательному движению.

Заметим, что при выводе уравнения динамики вращательного

 

 

движения нельзя в общем случае использовать равенство L I ,

так как оно справедливо только для осесимметричных однородных тел,

но

можно

использовать выражение для

кинетической

энергии

K

 

1

I 2

, после

дифференцирования

которого

по

времени

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем:

dK

I

d

мощности M

 

,

откуда

сразу

 

 

S

 

 

 

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вытекает равенство M S

I .

 

 

 

 

 

* плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить в виде наложения поступательного и вращательного движений

- 48 -

Задача №31 (№ 1.48 из сборника задач [5]). Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ,

где – его угловая скорость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна 0.

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t)2 ;

t0

2

 

0

 

 

Решение:

 

 

;

(t) (

0

 

 

;

dt

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

( 0 ) 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) dt

 

 

;

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №32 (№ 1.258 из сборника задач [5]). Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом a и массы m относительно оси, совпадающей с его диаметром.

Задача №33 (№ 1.268 из сборника задач [5]). Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости 0 и

поместили затем в угол. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен k. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки?

 

 

 

 

 

 

 

m R 2

 

2

 

 

 

k (m g F

Решение:

E

k

 

 

 

0 ; F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

тр,1

 

 

тр,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

k m g

;

F

 

 

 

k (1 k

2 )

m g ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тр,1

 

1

k

 

 

тр,сумм

 

1

k 2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

m R2 2 (1 k 2 )

 

 

 

02 R (1 k 2 )

 

4 k (1 k) m g 2 R

8 k (1 k) g

) ; Fтр,2 k Fтр,1

.

Задача №34 (№ 1.270 из сборника задач [5]). Однородный диск радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен k.

- 49 -

Вопросы для контроля:

Какое из тел - шар или плоский диск быстрее скатятся без проскальзывания по наклонной плоскости?

Как в общем случае вычисляется кинетическая энергия вращающегося тела?

Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения.

Сформулируйте теорему Штейнера.

-50 -

1.8.Механика жидкостей. Уравнение Бернулли. Вязкость.

Возможны два способа описания движения жидкости. Первый способ заключается в указании положений и скоростей всех частиц жидкости для каждого момента времени. Второй способ заключается в наблюдении не за частицами, а за неподвижными точками пространства и в исследовании скоростей в этих точках в различные

моменты времени. При таком подходе движение жидкости

характеризуется полем скоростей v(t) , которое можно изображать с

помощью линий тока.

По типу течений жидкости различают:

1.Ламинарное течение (слоистое) – такое течение, для которого траектории частиц не пересекаются, в любой момент времени момент импульса любой части жидкости равен нулю;

2.Турбулентное (вихревое) течение – такое течение, для которого момент импульса жидкости отличен от нуля;

3.Установившееся (стационарное) течение – поле скоростей стационарно, V const t

По типу жидкостей различают:

несжимаемые жидкости, для

которых плотность массы постоянна -

const(r,t) , а также вязкие

жидкости, для которых внутреннее трение играет существенную роль, и невязкие (идеальные) жидкости.

Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости при стационарном течении имеет вид: S V const , где S - сечение трубки тока.

Уравнение Бернулли.

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим узкую трубку тока, рис. 12. Применим для жидкости, ограниченной этой трубкой закон сохранения энергии.

 

 

 

Вычислим работу сил давления:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A P S l P S

2

l

2

 

P P V .

 

 

 

 

1

1

1

2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

Для приращения полной энергии получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

2

 

V g h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.12

 

 

 

V V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

V g h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравняв выражения для работы и приращения энергии, получим:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности