Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Posobie_fizika_dlya_KSS__mekhanika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

- 31 -

Задача №17 (№ 1.217 из сборника задач [5]). Некоторая планета массы M движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно r1, а максимальное – r2. Найти с

помощью третьего

закона

Кеплера: T 2

a3 период

обращения ее

вокруг Солнца.

Решение: T 2

a3 ;

r ) ;

m M

R m ;

min

max

T 2

4 2

min

max

Задача №18 (№ 1.219 из сборника задач [5]). Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Начальная скорость тела в гелиоцентрической системе отсчета равна

нулю. Найти с помощью T 2 a3 , сколько времени будет продолжаться падение.

Решение: Падение тела на Солнце можно рассматривать как движение по очень вытянутому эллипсу, большая ось которого равна радиусу земной орбиты. Тогда по Кеплеру 2 /T 2 R / 2 / R 3 , - время падения (время половины оборота по вытянутому эллипсу).

Откуда T / 32 .

Вопросы для контроля:

Как может быть установлена экспериментально зависимость силы гравитационного притяжения между двумя материальными точками от расстояния между ними?

Сформулируйте законы Кеплера.

Могут ли два спутника двигаться с разными скоростями по одной круговой траектории?

Как зависит скорость движения спутника по круговой траектории от расстояния до центра тяготения?

Как зависит период движения спутника по круговой траектории от расстояния до центра тяготения?

-32 -

1.4.Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Сила Кориолиса

Силы инерции при поступательном движении

Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах

отсчета.

неинерциальной

системе

отсчета, движущейся

поступательно

относительно

инерциальной

системы,

уравнения

механики

могут

быть

рассмотрены

таким

образом, как если бы законы

Ньютона выполнялись, но при

этом

необходимо

ввести

фиктивную

силу

инерции,

действующую на все тела,

обладающие инертной массой.

Рис.7

Рассмотрим рис. 7.

Повторяя

вывод преобразований

Галилея,

см.

рис.2,

получим:

t .

После

двукратного

дифференцирования

получим

классическую

формулу

сложения

ускорений:

Выражая

a a w .

или,

с учетом

отсюда ускорение a ,

получим m a m a

m w,

окончательно

получаем

выражение:

m a ,

m a

m w ,

которое можно толковать как второй закон Ньютона для неинерциальных систем отсчета. При этом на все тела, обладающие инертной массой, действует фиктивная сила инерции, равная

	m w .
F	m w .
и

Центробежная сила инерции

Рассмотрим поведение тел в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной системы отсчета с постоянной угловой скоростью .

Повторяя рассуждения, получим: Fи m 2 R ,

где вектор R перпендикулярен оси вращения. Эту силу принято называть центробежной силой инерции. Она возникает во вращающихся системах отсчета и не зависит от того, движется тело относительно этой системы или нет.

- 33 -

Cила Кориолиса

Если тело неподвижно относительно вращающейся системы отсчета, то возникает только одна дополнительная фиктивная сила – центробежная сила инерции. При движении тела кроме центробежной силы инерции возникает еще одна сила инерции, называемая

кориолисовой силой.

Пусть v - скорость частицы относительно вращающейся системы координат. Вычислим ускорение частицы относительно неподвижной системы координат как центростремительное ускорение:

v R 2

v 2

n 2 R n

2v n

v 2

Слагаемое

n равно ускорению частицы относительно диска,

m 2

R - центробежная сила инерции, а последнее слагаемое и есть

сила Кориолиса.

Более

точное

выражение

для

силы

Кориолиса,

с учетом ее

направления имеет

вид: FK 2m v , . Сила

Кориолиса обладает

следующими свойствами:

1.Сила Кориолиса всегда лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

2.Сила Кориолиса перпендикулярна к скорости v и,

следовательно, работу над частицей не	совершает.
Силы, обладающие всеми этими свойствами	называют

гироскопическими.

Задача №19 (№ 1.103 из сборника задач [5]). Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, отклонится от черты. Выстрел произведен в горизонтальном

направлении на широте 60 , скорость пули	V 900	м	и
		с
расстояние до мишени S 1,0 км .
Вопросы для контроля:

Укажите три типа сил инерции и запишите соответствующие выражения для сил

-34 -

В какую сторону действует сила Кориолиса на частицы воды в реке, текущей на юг в северном полушарии

Может ли сила Кориолиса увеличивать скорость частиц?

1.5.Законы сохранения в механике

Чрезвычайно важную роль в механике играют законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Практическое использование этих законов основано на том, что при расчетах мы можем проигнорировать изучение процесса взаимодействия, ограничившись составлением «баланса» до и после взаимодействия.

1.5.1. Закон сохранения импульса

Как уже отмечалось выше, закон сохранения импульса – это один из фундаментальных законов физики, являющийся следствием однородности пространства и поэтому имеющий одинаковую силу для классических и релятивистских взаимодействий. В учебниках по теоретической механике закон сохранения импульса выводится из анализа ковариантного выражения для действия релятивистских частиц, однако в элементарных учебниках по физике принято это закон рассматривать как следствие законов Ньютона.

(Для ознакомления. Из однородности пространства следует постоянство

Лагранжиана,

равного

разности

кинетической

потенциальной

энергии L K U ,

при

параллельном переносе системы в пространстве

или

ввиду произвольности ri

и с

учетом

уравнения

Лагранжа

d L

, получаем

const(t)

и,

по определению

dt Vi

импульсом называется величина, P

где:

k ).

x i

y i

z i

Формулируется этот закон так: импульс замкнутой системы не изменяется при любых взаимодействиях внутри системы.

		N		N
Математическая запись закона имеет вид: pi			pi ,
		i 1		i 1

где: pi	m vi	-импульс частиц до взаимодействия,		pi	m vi	-

импульс после взаимодействия.

- 35 -


Если за основу взять второй закон Ньютона в записи					dp	,	то из
Если за основу взять второй закон Ньютона в записи			F	dt		,	то из
			F	dt
N				N			N
условия замкнутости системы Fi	0
условия замкнутости системы Fi	0	следует равенство pi				pi ,
i 1				i 1			i 1

откуда следует, что центр импульса замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно относительно произвольной инерциальной

	const и мы
системы отсчета. Для одиночной частицы получаем, vi

снова возвращаемся к первому закону Ньютона.

Ярким примером применения закона сохранения импульса является теория реактивного движения. Реактивным называется движение, при котором ускорение обеспечивается выбросом телом части своей массы.

Рассмотрим реактивное движение ракеты, полагая известными начальную скоростьV0 , стартовую массу mстарт , скорость истечения

струи относительно ракеты и массовый расход топлива dmdt .

Расчет реактивного движения удобно осуществлять в инерциальной системе отсчета, локально сопутствующей ракете, то есть в системе отсчета, в которой ракета на мгновение остановилась. При этом на


основании закона сохранения импульса имеем: 0 dm u				m(t) dv ,
откуда получаем формулу Мещерского для ускорения ракеты:
	u
a			.
		m(t)

В общем случае уравнение динамики тела переменной массы имеет


		dV			dm
вид:	m		F			u	,	где	u	- скорость отделяемого
		dt			dt
(присоединяемого)				вещества				относительно рассматриваемого тела,

F - внешняя сила.

Если расход топлива и скорость истечения струи постоянны, формула Мещерского легко интегрируется и получается формула Циолковского

			mстарт
для скорости ракеты:V	u	ln		.
			m(t)

Задача №20. Футболист Ш. дает пас футболисту Р., убегающему от


него в направлении	неприятельских ворот со скоростью 7м/с.
В результате упругого	отскока от футболиста Р.		мяч прекратил
горизонтальное движение. Определить		начальную	скорость мяча,
полагая массу мяча много меньше массы		футболистов.

- 36 -

Задача №21. Вычислить давление струи воды в водометной пушке. Скорость вытекания воды 20м/с, сечение струи 5см2. Полагать, что вода может отражаться от препятствия.

Задача №22. Пуля, массой 9г, движущаяся горизонтально попадает и застревает в ящике с песком, массой 1кг, движущемся со скоростью 1 м/с по наклонной плоскости с углом при основании 300. В результате взаимодействия ящик останавливается. Найти первоначальную скорость пули.

Задача №23. Авиационная пушка GAU-81A делает 4200 выстрелов в минуту при скорости вылета снаряда1000м/с. Оценить силу отдачи, если масса одного снаряда 800г. Почему полученный результат является приближенным?

Задача №24. Шарик для пинг-понга летит со скоростью 5м/с относительно земли и навстречу ракетке, которая в свою очередь движется со скоростью 2м/с относительно земли. С какой скоростью будет двигаться шарик после упругого удара о ракетку?

Задача №25 (№ 1.126 из сборника задач [5]). Цепочка массы m 1,00 кг и длины l 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности

стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Решение: P v dm ;

dx .

2 g x ;

Проинтегрировав получим:

2 g

xdx

2 g l .

это точка, через равнодействующая при любой его

-37 -

1.5.2.Центр масс, импульса и тяжести

Радиус вектор центра масс определяется формально равенством:


					m1 r1	m2 r2	mN rN
			rc					.
			rc			m1 m2 mN		.
						m1 m2 mN
При	этом	в	СО,		связанной		с центром	масс получаем:

m1 r1	m2 r2	mN rN .				Например, для двух частиц имеем:
r2 / r1 m1 / m2 ,			и	центр		масс	лежит на	прямой линии,

соединяющей частицы. Отметим, что формально формула применима и для частиц с отрицательной массой, что бывает полезно для решения задач о телах с вырезами.

Центр импульса – это точка, обладающая следующим свойством: при произвольном вращении тела вокруг неподвижной оси проходящей через эту точку импульс тела равен нулю. Для классических частиц центр импульса совпадает с центром масс.

Этот результат легко может быть получен из формулы для

центра				масс	путем	дифференцирования по времени:
	d
		m1	r1	m2 r2	mN	rN	P =0.
	dt

Для релятивистских частиц центр импульса не совпадает с центром масс и является более фундаментальной величиной, т.к. центр импульса замкнутой системы в любой ИСО движется равномерно и прямолинейно, в то время как для центра масс это справедливо лишь для случая малых скоростей.

Рис.8 Центр тяжести – которую проходит всех сил тяжести, действующих на тело ориентации.

Если ускорение свободного падения постоянно в пределах тела, то любая вертикальная плоскость, проходящая через центр тяжести, делит это тело на две части, вращательные моменты для которых компенсируются, рис.9. В этом случае центр тяжести совпадает с центром масс тела. Действительно, из равенства:

			- 38 -

m1 r1 m2 r2		mN rN ,	после
горизонтальную ось X получаем:
g(m1 x1	m2	x2 mN xN ) 0 , или

проектирования на

M i 0 , где M i -

i 1

вращательный момент силы тяжести относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. Центр тяжести может не совпадать с центром масс лишь в неоднородном гравитационном поле.

1.5.3. Закон сохранения энергии в механике

Энергия – фундаментальная физическая величина, выражающая наиболее общие формы движения и взаимодействия тел.

Закон сохранения энергии – это один из фундаментальных законов физики, являющийся следствием однородности времени и поэтому также как и закон сохранения импульса имеющий одинаковую силу для классических и релятивистских взаимодействий. В учебниках по теоретической механике закон сохранения энергии выводится из условия отсутствия явной зависимости лагранжиана системы от времени, но в учебниках по элементарной физике энергия вводится с помощью понятия работа.

Механической работой называется скалярная величина, равная

2
A F		dl .
1

При вычислении работы различных сил выявляются два факта. Первый заключается в том, что работа, затраченная на изменение скорости тела, зависит только от начальной и конечной скорости и не зависит от распределения скорости во времени

2		2				mv	2	2
A F dl m			dv			mv	2	mv1 .
				dv dt
			dt	dv dt		2		2
1		1	dt			2		2
1		1
Этот факт позволяет ввести кинетическую энергию тела равенством
K mv2 / 2 . При	этом	имеет		место	равенство dK dA , или

A K2 K1 , называемое теоремой о кинетической энергии.

Второй факт заключается в том, что работа некоторых силовых полей не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. Например, работа силы

	2		2
			mg dx mgh ,
тяжести равна	A mg	dl	mg dx mgh ,
	1		1

- 39 -

где x – координатная ось, направленная вниз, h – высота спуска. Стационарные (не зависящие от времени) силы, для которых выполняется это утверждение, называются консервативными. Для таких силовых полей можно ввести потенциальную энергию тела равенством dU dA .

Последнее

равенство

можно

переписать

виде:

dz F dx F

dy F dz

и,

в силу

произвольности приращений координат следует:

grad U *.

или F

Это равенство можно использовать в качестве

определения потенциальной энергии. Ясно, что с помощью такого определения потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы.

Неконсервативными являются диссипативные силы (трения, сопротивления), полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе отрицательна и гироскопические силы, работа которых равна нулю. Гироскопические силы (Лоренца, Кориолиса) зависят от скорости и всегда направлены перпендикулярно ей.

Дальнейший вывод закона сохранения механической энергии прост. Приравнивая выражения для дифференциала работы, получим d (K U ) 0 . Отсюда следует закон сохранения энергии в механике:

полная механическая энергия замкнутой системы тел взаимодействующих консервативными силами есть величина постоянная.

Пример №1. Энергия и биология. Скорость сгорания «топлива» в организме человека составляет примерно 80Вт, эта энергия тратится на поддержание работы внутренних органов. Во время лекции по физике студент дополнительно тратит 40 Вт на работу мозга. Если в аудитории холодно, необходимо дополнительно учесть 50Вт на обогрев вдыхаемого воздуха, на излучение тратится 50 - 100Вт, но учитывать это не нужно, т.к. уже учли выделение этой энергии. Примем приближенно потребляемую мощность равной 170Вт, тогда за 80 мин

(4800сек) необходима энергия порядка 0.8МВт.								Такое количество

*	grad ,	N					grad i
		d			dxi	,
		d	x		dxi	,		x
		i 1	x	i				x	i
		i 1		i					i

- 40 -

энергии выделится при употреблении 60г селедки, 100г хлеба или 0,4 кг яблок.

Пример №2. Энергия и автомобиль. Оценим расход топлива автомобиля, движущегося со скоростью 100км/ч.

Пусть известно, что коэффициент обтекания автомобиля равен

=0.3, площадь поперечного сечения S 1.5M 2 , коэффициент полезного действия двигателя внутреннего сгорания 23%, удельная теплота сгорания бензина 44Мдж/кг.

Решение: на первом этапе вычислим силу сопротивления по

формуле F		s v 2 .	Подставляя	исходные данные	и
сопр
плотность	воздуха 1.29кг/м3		, получим	F 450Н .	При
				сопр

равномерном движении сила тяги сила тяги двигателя должна быть чуть больше силы сопротивления (на величину трения качения и трения в механизмах). Положим силу тяги равной 550Н. Умножив величину силы тяги на скорость, получим требуемую полезную мощность, Nполезн 15.3кВт.

Разделив это число на величину к.п.д., получим энергию, выделяемую в единицу времени при сгорании топлива: Nдвиг 66.4кВт (примерно

90 л.с.). Разделив величину мощности на удельную теплоту сгорания, получим массу бензина, сгораемого за 1 секунду, m=1.5г/сек. За один час езды, на преодоление 100км пути будет израсходовано примерно 5.4кг, или 7литров бензина.

Пример №3. Один из изобретателей «вечного двигателя» предложил такую схему. При равноускоренном полете ракеты сила и ускорение постоянны, а приращение энергии все увеличивается и увеличивается,

что видно из формулы dE d (m v2 ) 2m v a , следовательно, dt dt 2

чем дольше полет, тем «дешевле» достается прирост энергии. Найдите ошибку в рассуждениях.

Задача №26 (№ 1.141 из сборника задач [5]). Локомотив массы M начинает двигаться по станции так, что его скорость меняется по

закону V S , где – постоянная, S - пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.2015277.27 Кб7Pogorelova_1RA_4.rtf
#
20.03.201571.77 Кб18POGORELOVA_A_1RA_3.docx
#
10.09.2019146.94 Кб7Politicheskaya_ekonomia.doc
#
07.09.201997.79 Кб10polozhenie_o_stud_samoupr_tnu_ot_17_11_10.doc
#
27.11.2019370.18 Кб3posibnik_po_sproscheniy_protseduri.doc
#
20.03.20151.02 Mб26Posobie_fizika_dlya_KSS__mekhanika.pdf
#
31.07.2019460.29 Кб5Posobije.doc
#
31.07.201987.1 Кб4Potgotovka_k_Ekzamenu(Измененный).docx
#
20.03.2015124.42 Кб10PR.doc
#
21.08.2019139.78 Кб2Prakticheskie_po_pr_sots_obes.doc
#
18.11.2019734.21 Кб22Praktichni_roboti_1-5_organika.doc