Понятие поверхности второго порядка

Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Уравнение мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Классификация поверхностей второго порядка

Теорема: Для произвольной поверхности , заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат, что в этой системе поверхностьимеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

1) — эллипсоид,

2) — мнимый эллипсоид,

3) — однополостный гиперболоид,

4) — двуполостный гиперболоид,

5) — конус,

6) — мнимый конус (точка),

7) — эллиптический параболоид,

8) — гиперболический параболоид,

9) — эллиптический цилиндр,

10) — мнимый эллиптический цилиндр,

11) — две мнимые пересекающиеся плоскости (ось),

12) — гиперболический цилиндр,

13) — две пересекающиеся плоскости,

14) — параболический цилиндр,

15) — две параллельные плоскости,

16) — две мнимые параллельные плоскости,

17) — две совпадающие плоскости (плоскость).

В выше перечисленных уравнениях ­— положительные параметры. Систему координат называют канонической.

Классификация центральных поверхностей.

Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид:

Так как инвариант для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения , равно, то коэффициенты удовлетворяют условию:

Возможны следующие случаи:

1. Коэффициенты одного знака, а коэффициентотличен от нуля. В этом случае поверхностьS называется эллипсоидом.

Если коэффициенты одного знака, то левая часть ни при каких значенияхне обращается в нуль, т.е. уравнению поверхностине удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхностьназываетсямнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов противоположен знаку коэффициента , то поверхностьназываетсявещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно . После несложных преобразований уравнение эллипсоидаможно записать в следующей форме:

Уравнение называетсяканоническим уравнением эллипсоида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением то оси,иназываются его главными осями.

2. Из четырех коэффициентов , два – одного знака, а два других – противоположного. В этом случае поверхность называетсяоднополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

Тогда числа:

положительны. Обозначим эти числа соответственно . После несложных преобразований уравнениеоднополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение называетсяканоническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением то оси,иназываются его главными осями.

3. Знак одного из первых трех коэффициентов , противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность называетсядвуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности,

Тогда:

Обозначим эти числа соответственно через . После несложных преобразований уравнениедвуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение называетсяканоническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси ,иназываются его главными осями.

4. Коэффициент равен нулю. В этом случае поверхностьназываетсяконусом второго порядка.

Если коэффициенты - одного знака, то левая часть обращается в нульлишь для, т.е. уравнению поверхностиудовлетворяют координаты только одной точки. В этом случае поверхностьназываетсямнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты имеют разные знаки, то поверхностьявляетсявещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

Обозначим

соответственно через . Тогда уравнениеможно записать в виде

Уравнение называетсяканоническим уравнением вещественного конуса второго порядка.

Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.

Пусть — нецентральная поверхность второго порядка, т.е. поверхность, для которой инвариантравен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

для системы координат

Так как инвариант и его значение, вычисленное для уравнения, равно, то один или два из коэффициентовравны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

1. Один из коэффициентов равен нулю. Ради определенности будем считать, что(если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем

переименования осей координат). Перейдем от координат к новым координатампо формулам.

Подставляя , найденные изв левую частьи заменяя затем

на ,на,наи на , получим следующее уравнение поверхностив новой системе координат:

1) Пусть ,. Поверхностьраспадается на пару плоскостей.

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки и - одинаковы, и вещественными, если знаки и различны.

2) Пусть . Уравнениепринимает вид:

Известно, что уравнение является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси. При этом, если имеют одинаковый знак, то левая часть отлична от нуля для любыхи, т.е. цилиндр будетмнимым. Если же среди коэффициентов имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будетвещественным. Отметим, что в случае, когда и имеют одинаковые знаки, a — противоположный, то величины положительны.

Обозначая их соответственно через и, мы приведем уравнениек виду:

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, и имеют различные знаки, мы получимгиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду:

3) Пусть . Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами:

При этом оставим старые обозначения координат . Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхностив новой системе координат, достаточно заменить в уравнении на . Получим следующее уравнение:

Уравнение определяет так называемыепараболоиды. Причем если и имеют одинаковый знак, то параболоид называетсяэллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение легко получается из. Если и имеют разные знаки, то параболоид называетсягиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

Это уравнение также легко может быть получено из .

2. Два из коэффициентов , , равны нулю. Ради определенности будем считать, что и . Перейдем отк новым координатам по формулам:

Подставляя , найденные изв левую частьи заменяя затем на _, на , на и на , получим следующее уравнение поверхностив новой системе координат:

1) Пусть . Поверхностьраспадается напару параллельных плоскостей.

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки иодинаковы, ивещественными, если знаки и - различны, причем при эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов илиотличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оситак, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначениядля новых координат точек, уравнениепримет вид:

которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси .