Поверхности второго порядка История

Аналитическая геометрия в пространстве исследует поверхности и кривые. Каждая точка в пространстве имеет три координаты, которые с начала XVIII в. принято обозначать x, y и z. Поэтому поверхности определяются уравнениями вида . Кривые в пространстве определяются как линии пересечения поверхностей. Поэтому координаты точек кривых удовлетворяют системам уравнений вида:

Особенность методов аналитической геометрии в том, что для их применения не требуется чертежей, поскольку все сводится к исследованию и решению уравнений. Методы аналитической геометрии легко обобщаются и оказываются применимыми к исследованию геометрических объектов в пространствах с числом измерений большем трех. Такие пространства используются в аналитической механике Лагранжа (J.L. Lagrange, 1736–1813 гг.) и Гамильтона (W.R. Hamilton, 1805–1865 гг.). Главы n–мерной аналитической геометрии были опубликованы Грасманом (H. Grassmann, 1809–1877 гг.) и Кэли (A. Cayley, 1821–1895 гг.) в 1843 году. К числу основателей многомерной геометрии относят и Мебиуса (A.F. Mëbius, 1790–1868 гг.). Тот факт, что в аналитической геометрии все геометрические отношения выражены в форме уравнений, оказался очень полезным для компьютерной графики, поскольку процессоры оперируют только с числами. Следовательно, только благодаря аналитической геометрии мы имеем сейчас возможность получать и преобразовывать различные изображения на экранах дисплеев.

Велико значение аналитической геометрии для инженерной деятельности. Уже в античные времена особые свойства некоторых кривых находили практическое применение. Например, винтовые линии, начиная с архимедова винта, используются для перемещения тел. "Точное прямило" Леонардо да Винчи (1452–1515 гг.) – это устройство, использующее свойство эпициклоиды. С помощью точного прямила поступательное движение поршня преобразуется во вращательное движение вала без использования шатуна. Бесшатунные двигатели внутреннего сгорания гораздо эффективнее, чем обычные. Они используются в авиации и, надеемся, будут применяться и в автомобилестроении.

Свойство параболоидов фокусировать параллельный пучок волн применяется в антеннах и зеркалах телескопов. Тот факт, что поверхность однополостного гиперболоида состоит из прямых линий использовал В.Г. Шухов (1853–1939 гг.) при строительстве мачт и телевизионной башни на Шаболовке (построена в 1921 году для первой советской радиотелеграфной станции). То, что седлообразная поверхность гиперболического параболоида состоит из прямых, позволяет легко строить крыши красивой формы. Другие поверхности, образованные прямыми линиями, можно увидеть в светильниках. Однако, многие кривые и поверхности, изученные в аналитической геометрии, еще ожидают своего технического применения.

Преобразованием простран­ственных координат для двух прямоугольных систем владел уже Эйлер (1748 г.). На исходе XVIII столетия у Монжа появились на­правляющие косинусы прямой, а около 1810 г. он ввел также синус трехгранного угла. Карно и Ливе (1806 г.) распространили затем преобразование координат на системы, из которых - одна косоугольна, а Франсе и Ашетт (1808/09 гг.) — на две косоугольные системы. Э. Бобилье распространил декартово понятие координат на не­сколько координат, связанных отношениями (1827/28 гг.). Более плодо­творной была идея барицентрических координат Мёбиуса (1827 г.) и общих тетраэдрических координат Плюкера (1830 г.). Оба автора дали также соответствующие преоб­разования: Плюкер обстоятельно провел это в «Системе геомет­рии в пространстве» (1846 г.). Л. Гессе (с 1844 г.) с большим успехом применял однородные пространственные координаты.

Коши (1826 г.) дал параметрическое представление прямой в пространстве, Мёбиус сделал это для плоскости в барицентричес­ких координатах (1827 г.). Так называемая нормальная форма уравнения плоскости Гессе (1861 г.) появилась уже у Магнуса («Сборник за­дач», 2, 1837 г.). «Координаты плоскости» ввел Плю­кер (1832 г.). Шесть «плюкеровых» координат прямой, которые Плюкер позднее использовал в качестве основы своей «Новой геометрии пространства» (1869 г.), имелись уже в «Учении о линейной протяженности» Грассмана (1844 г.). Как и на плоскости, в пространстве были введены бесконечно удаленные и мнимые элементы, а также идея двойственного преобразования.

После Эйлера (1748 г.) первых существенных успе­хов в классификации поверхностей второго порядка достигли Монж и Ашетт в «Приложении алгебры к геометрии» (Париж, 1805 г.). Коши в «Лекциях о при­ложениях исчисления бесконечно малых в геометрии» (1826 г.) и Магнус («Сборник задач», 2, 1837 г.) занялись рассмотрением поверх­ностей с двойными точками. Плюкер произвел в «Системе» (1846 г.) анализ вопроса в общих тетраэдрических координатах, рассмотрел общим образом поверхности второго класса в координатах плос­кости и доказал их тождество с поверхностями второго порядка. У Плюкера имелись и несобственные поверхности второго класса (совокупность касательных плоскостей к коническому сечению). Основы проективной теории заключались в «Трактате» (1822 г.) Понселе. Дюпен в «Исследованиях по геометрии» (Париж, 1813 г.) ввел в качестве «сопряженных касательных» касательные, расположенные гармонически к обеим образующим, проходящим через данную точку. Опираясь на это, Шаль (1814/16 г.), Коши (1829 г.), Якоби (1834 г.) и Гессе (1838 г.) подняли на высшую ступень проблему определения главных осей, ища сопряженные направления, общие для поверхности и некоторого шара. Уравнение третьей степени для направляющих косинусов главных осей дал уже Эйлер («Теория движения твердых тел», 1765 г.), соответствующие уравнения для величин, обратных квад­ратам длин осей, установили Ашетт и А. Пети (1812 г.). Коши в 1829 г.  записал их в виде определителей. Различными способами было показано, что оба уравнения имеют только действительные решения. Коши заметил, что коэффициенты второго уравнения являются инвариантами относительно любого ортогонального преобразования координат и совместными инвари­антами поверхности и изотропного конуса, хотя эти понятия еще отсутствовали. Канонические формы уравнений различных поверх­ностей дал Эйлер; более подробно они были приведены у Монжа и Ашетта, которые впервые снабдили их правильными чертежами. Многочисленные метрические свойства сопряженных диаметров установили Ливе (около 1805 г.), Бине и Шаль (1815 г.), а также Штей­нер(1846 г.).

Условия, при которых поверхность второго порядка есть по­верхность вращения, вывел из известного дифференциального уравнения Монжа для поверхностей вращения Ламе(«Исследование», 1818 г.), а Коши (1828 г.) и Плюкер (1842 г.) получили их из условия равенства двух осей. Магнус (1837 г.) рассмотрел равносто­ронний конус,  Плюкер (1846 г.) — равносторонний гиперболоид, Штей­нер («Систематическое развитие», 1832 г.) — равносторонний гипер­болический параболоид. Монж (в «Начертательной геометрии», 1794/95 г.) предполагал уже известным, что конус касается поверх­ности второго порядка по плоской кривой; доказал он это в том же году в «Листах анализа». Плюкер в «Сис­теме» (1846 г.) ввел асимптотический конус. Различные теоремы о геометрических местах вершин описанных конусов были даны Ламе и Монжем; последний, в частности, показал, что вершины всех ортоптических конусов описывают сферу, которая согласно Магнусу и Плюкеру в случае параболоида вырождается в плос­кость.

Проблема замыкания для многогранника, впи­санного в поверхность второго порядка и описанного около софокусной поверхности второго порядка, приводит к теореме сложе­ния гиперэллиптических интегралов второго рода. Этим занимался Ж. Лиувилль (1847 г.). Шаль изучил с различных точек зрения про­блему нормалей. Между прочим, он доказал (1838 г.), что шесть нормалей, которые можно провести из точки к поверх­ности второго порядка, принадлежат конусу второго порядка. Основания их он определил посредством пересечения с поверхностью третьего порядка. Ф. Иоахимсталь (1843 г.) подробно разобрал соответствующее уравнение.

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка иг­рали роль уже в «Начертательной геометрии» Монжа. Намеченное там нитяное построение выполнил в 1830 г. Т. Оливье. Монж и Ашетт в 1805 установили главные теоремы относительно обеих систем прямолинейных образующих. Дюпен в «Исследованиях по геометрии» (1813 г.) рассматривал эти прямые как линии пересече­ния поверхности с касательной плоскостью, как асимптотические линии и т. д. У Штейнера (1832 г.) образующие прямые поверхности являлись прямыми, соединяющими точки проективных рядов точек, или линиями пересечения проективных пучков плоскостей. Для от­дельных поверхностей, как гиперболический параболоид(Мейер Гирш, 1807 г.), подобное линейчатое образование применялось уже и прежде. Ф. Зейдевиц получил действительным образом (1847 г.) любую поверхность второго порядка, даже с мнимыми образую­щими, посредством однозначного соответствия двух коллинеарных связок. Коши (1826 г.) и Плюкер (1846 г.) распространили далее анали­тическую теорию прямых, лежащих на поверхности второго порядка.

Монж в «Начер­тательной геометрии» показал, что с помощью трех прямых одной системы можно получить вторую систему образующих, заставляя прямую скользить вдоль этих трех прямых. Мёбиус доказал это посредством барицентрического исчисления. Жергонн (1826/27 гг.) поставил задачу о нахождении двух прямых, пересекаю­щих четыре произвольно скрещивающиеся прямые; решили ее целый ряд математиков того времени. Штейнер показал (1827 г.), что че­тыре высоты тетраэдра принадлежат одному гиперболоиду. Шаль доказал(1828/29 гг.), что четыре прямых, соединяющих соответствен­ные вершины двух взаимно полярных тетраэдров, лежат на гипербо­лоиде. Ашетт (1826) уделил большое внимание тетраэдру из четырех образующих, все грани которого есть касательные плос­кости. 

Отправляясь от одного замечания во «Введении в анализ» Эйлера (1748 г.), Монж и Ашетт строго доказали (1805 г.), что параллельные сечения поверхности второго порядка подобны и подобно расположены. Общим образом плоские сечения иссле­довал, прежде всего, Коши (1826 г.). Монж и Ашетт открыли также семейства круговых сечений. Омбилическими точками зани­мался особенно Дюпен (1813г.). Дюпен (1809/13 гг.), Шаль (1814/16 гг.) и Ж. Дюрранд (1816/17 гг.) распространили задачу Аполлония о ка­сании на плоские сечения поверхностей второго порядка. Частный случай, когда поверхность есть шар, разобрали Карно («Геометрия положения», 1803 г.), Оливье (1814/16 гг.) и Штейнер (1826 г.). Задачу Мальфатти для поверхностей второго порядка син­тетически исследовали Дюпен(1809/13 гг.) и Штейнер (1826 г.), а ана­литически— Кэли (1852г.).

Начиная с «Начертательной геометрии» Монжа, перенесена была на поверхности второго порядка и теория поляр. Здесь выде­ляются заслуги Жергонна (1810/11 гг.). Понселе подошел с проек­тивной точки зрения (1822 гг.) к центру, диаметральным плоскостям и т. п. Мёбиус, Штейнер и, прежде всего, Плюкер (с 1830/32 гг.) занимались полярным соответствием относительно поверхностей второго порядка, как частным случаем общего двойственного соот­ветствия, определенного пятью элементами в пространстве. В слу­чае конуса его изучали Шаль (1830 г.) и Магнус (1837 г.), причем последний занимался и изотропным конусом. Уже Понселе пришел к сопряженному тетраэдру. Плюкер существенно углубил теорию Понселе (1842 г.). Комплекс нормалей системы софокусных поверхностей второго порядка рассматривал, хотя еще и не под этим названием, Бине (1813 г.). Дальнейшие теоремы здесь были даны А. Ампером (1821/22 гг.), Якоби (1834 г.) и Шалем (1837 г.).

Построением поверхности второго порядка, проходящей через девять данных точек, занимался Ламе(«Исследование», 1818 г.). Исчерпы­вающее решение задачи дал в 1842 году Гессе. Другие решения исхо­дили от Штейнера (посмертное наследие), Зейдевица (1847 г.) и Шаля (1855 г.). Штаудт («Геометрия положения», 1847 г.) решил также пред­ложенную Ламе задачу о построении поверхности по коническому сечению и четырем точкам. Иоахимсталь (1850 г.), опираясь на более ранние работы других авторов, привел в виде определителя усло­вие того, что пять точек лежат на одном шаре.

На софокусные поверхности второго порядка впервые натолк­нулся Лаплас при изучении притяжения однородных эллипсоидов («Небесная механика», 1798/99 гг.). В этой же связи позднее рассматривали их Дж. Айвори (1809 г.) и Гаусс (1813 г.). Геометрическое изучение началось с Дюпена(1813 г.). Дюпен одновременно с Бине открыл ортогональность поверхностей таких семейств. Дальнейшие исследования, особенно о софокусных кону­сах и входящих в софокусную систему предельных конических сечениях, принадлежали Якоби (1834 г.) и Шалю (1830/37 гг.). Б. Амио (1843 г.) распространил на поверхности второго порядка понятия директрисы и направляющей плоскости. Эллиптические координаты, ввел Ламе (1837 г.), широко применял Якоби (1839 г.) для решения дифференциальных уравнений. Линии кривизны, по которым пересекаются софокусные поверх­ности, нашел Монж (1794 г.), который уже признал в них пространственные кривые четвертого порядка. Дальнейшие исследования принадлежали Дюпену (1813 г.). Он свел вопрос о главных радиусах кривизны в точке поверхности к определению осей диаметрального сечения. 

Впервые применил к эллипсоиду аффинное соответствие, ис­ходя из начертательно-геометрической точки зрения, Шаль (1814/16 гг.), хотя собственно уже теорема Айвори  покоилась на некотором аффинном преобразовании. Более общее изучение аффинных поверхностей второго порядка начал Мёбиус (1827 г.), а коллинеарных, включая мнимые коэффициенты, — Плюкер (1846 г.).

Уже Ливе  (1804/08 гг.) рассматривал центральные по­верхности 2-го порядка, взаимно полярные относительно произ­вольной поверхности 2-го порядка, а общим их рассмотрением занимались затем Брианшон (1806 г.), Шаль (1814/16 г.) и Понселе (1824 г.). Отсюда возник общий принцип двойственности в про­странстве. Стереографическое изображение эллипсоида вращения рассмотрели сначала Френель (1805 г.), а затем Ашетт в «Трактате о поверхностях второго порядка» (Париж, 1807 г.); для общей поверхности 2-го порядка его исследовали Шаль (1814/16 гг.), Штейнер (1826 г.) и Дан­делен (1827 г.).