ЛЕКЦИЯ 12 Основы теории вероятностей _опр кон_

ЛЕКЦИЯ №12

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§16. Основы комбинаторики

В математике существует много задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные комбинации, вычислять количество комбинаций, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики – комбинаторикой. Комбинаторные задачи решали еще в Древнем Китае и в Римской Империи.

Как раздел математики комбинаторика возникла в XVI веке. Ее развитие связано с именами таких ученых, как Н.Тарталья (1500 – 1557),

Б.Паскаль (1623 – 1662), П.Ферма (1601 – 1665), Я.Бернулли (1654 – 1705) и Л.Эйлер (1707 – 1783). Возрождение интереса к комбинаторике относится к 50-м годам XX века. Оно связано с развитием кибернетики и дискретной математики.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Решение большинства комбинаторных задач основано на применении двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы: Если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В - n способами (причем, ни один из способов выбора элемента А не совпадает со способом выбора элемента В), то выбрать А или В можно m n способами.

Пример: В одном ящике 7 шаров, а в другом – 10 шаров. Произвольно из какого-нибудь ящика извлекаем шар. Сколькими способами это можно сделать?

Правило произведения: Если элемент А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора элемент В можно выбрать n, то выбрать упорядоченную пару (А,В) можно m n способами.

1

Пример: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 5, 7, и 9, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?

Правила произведения и суммы часто используются в решении задач. Кроме них часто используются следующие специальные формулы:

16.1. Перестановки

Определение: Перестановками называются различные комбинации, образованные из n элементов, расположенных в

определенном порядке.

Количество перестановок обозначается Pn и вычисляется по формуле:

Pn n!,

где n! 1 2 3 ... n 1 n - произведение всех натуральных чисел

от 1 до n включительно.

Пример: Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5 написаны на шести карточках. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из этих карточек?

16.2. Размещения

Определение: Размещениями называются упорядоченные комбинации, составленные из m элементов, отобранных из множества, содержащего n элементов (то есть, они могут отличаться друг от друга или составом элементов, или их порядком, или и тем, и другим одновременно).

Количество размещений обозначается Anm и вычисляется по формуле:

Пример: У студентов 10 учебных предметов и 3 различных пары в день. Сколькими способами можно составить расписание занятий в день?

16.3. Сочетания:

Определение: Сочетаниями называются неупорядоченные комбинации, составленные из m элементов, отобранных из множества, содержащего n элементов (то есть, они отличаются друг от друга только составом элементов).

Количество сочетаний обозначается Cnm и вычисляется по формуле:

Пример: В спортивной секции занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

§17. Введение в теорию вероятностей.

17.1. Основные понятия теории вероятностей.

Определение: Опытом, экспериментом или испытанием

называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.

2

Определение: Выборочным пространством эксперимента

называют множество всех возможных исходов данного эксперимента.

Оно может быть конечным (подбрасывается кубик – 6 возможных исходов), бесконечным (бросается мяч и измеряется расстояние до точки падения) или счетным (подбрасывается монета и подсчитывается число бросков до первого выпадения герба).

Определение: Исход эксперимента называется элементарным

событием (или элементарным исходом), если в результате эксперимента наступает один и только один элементарный исход.

Пример: Монета подбрасывается 3 раза. Найти все возможные элементарные события.

Определение: Событием называют возможный результат

эксперимента.

Событие может содержать в себе один или несколько элементарных исходов и может рассматриваться как подмножество множества элементарных исходов.

Пример: Подбрасывают игральную кость. Определите элементарное событие:

а) выпадение четного числа очков;

б) выпадение 2 очков;

в) выпадение 6 очков;

г) выпадение не менее 5 очков

Все события можно разделить на 2 группы: события детерминированные и события случайные.

Определение: Случайное событие – это событие, про которое

заранее неизвестно, произойдет оно или не произойдет в данном комплексе условий.

Например:

Случайные события принято обозначать заглавными начальными буквами латинского алфавита: А, В, С...

Определение: Детерминированное событие – это событие,

про которое известно заранее, произойдет оно или не произойдет в данном комплексе условий.

Если событие точно произойдет в данном комплексе условий, то оно называется достоверным

Например: при нормальном атмосферном давлении и температуре 0оС вода точно замерзнет.

Если событие точно не произойдет в данном комплексе условий, то оно называется невозможным

Например: при нормальном атмосферном давлении и температуре +100оС вода точно не превратится в лед.

Достоверные события принято обозначать U или , невозможные события – V или .

Примеры: Подбрасываем игральный кубик. Определить событие: а) выпадение 0 очков;

б) выпадение от 1 до 6 очков;

в) выпадение 3 очков.

17.2. Виды событий

Определение: События А и В называются несовместными, если

в результате испытания они никогда не могут наступить вместе.

3

Несовместные события не содержат в себе общих элементарных исходов.

Например: А – выпадение герба; В – выпадение решки.

Определение: События А и В называются совместными, если в

результате испытания они могут наступить вместе.

Совместные события содержат в себе общие элементарные исходы.

Например: А –появление четного числа очков, В – появление 4 очков.

Определение: Событие А называется благоприятствующим

событию В, если при наступлении А неизбежно наступает В.

Например: А – появление 4 очков, В – появление четного числа очков.

Определение: События называются равновозможными, если

условия эксперимента не создают преимуществ в наступлении одного события перед другим.

Например: А – выпадение герба; В – выпадение решки.

17.3. Классическое определение вероятности.

Определение: Классической вероятностью Р(А) события А

называется отношение числа т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу п всех элементарных событий.

P A m . n

Пример: В корзине 2 яблока и 8 груш. Наугад извлекают один фрукт. Найти вероятность того, что он будет яблоком.

.

Свойства классической вероятности.

1.Вероятность достоверного события равна 1

2.Вероятность невозможного события равна 0.

3.Вероятность любого события А удовлетворяет двойному неравенству 0 P A 1.

17.4. Статистическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты события.

Определение: Относительной частотой события А называют

отношение числа испытаний, в которых наступило событие А к общему числу проведенных испытаний:

A m .

n

Относительная частота обладает свойством статистической устойчивости: при проведении серий с большим количеством испытаний относительные частоты будут группироваться вокруг некоторого числа. Это число и будет являться статистической вероятностью события А.

Впроведенных французским естествоиспытателем Ж. Бюффоном

ианглийским математиком К. Пирсоном опытах по изучению относительной частоты выпадения герба при бросании монеты были получены результаты, приведенные в таблице:

Пример: Среди 500 ампул, проверенных на герметичность, 10 ампул с трещинами. Определить относительную частоту появления ампул, имеющих трещины.

17.5. Операции над событиями (алгебра событий).

Определение: Суммой событий А и В называется событие С,

которое состоит либо в наступлении события А, либо в наступлении события В, либо в их одновременном наступлении.

Обозначается С=А+В.

4

Пример: Два стрелка производят по одному выстрелу по мишени. А- попадание в мишень первым стрелком, В- попадание в мишень вторым стрелком.

С=А+В –

Определение: Произведением событий А и В называется

событие С, которое состоит в одновременном наступлении событий А и В.

Обозначается С=А·В

Пример: С=А.В –

Определение: Событием, противоположным событию А,.

называется событие, которое состоит в ненаступлении события А.

Обозначается А.

Пример: А–

17.6. Вероятность суммы и произведения событий

Теорема 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P A B P A P B P AB

Доказательство:

Воспользуемся классическим определением вероятности. Пусть n – общее число элементарных исходов;

mA – число исходов, благоприятствующих событию А; mВ – число исходов, благоприятствующих событию В;

mAВ – число исходов, благоприятствующих совместному наступлению событий А и В;

mA+В – число исходов, благоприятствующих наступлению суммы событий А и В.

Следствие1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий P A B P A P B .

Доказательство:

5

Доказательство:

Определение: Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло (P B 0), называется условной

вероятностью события А относительно события В и обозначается

P AB .

Определение. Событие А называется независимым от события

В, если вероятность события А не зависит от того произошло событие В или нет, то есть P AB P AB P A

Пример: В урне лежит 7 белых и 3 черных шарика. Достают последовательно 2 шарика. Пусть событие А состоит в том, что первый вытащенный шар белый. Событие В – второй вытащенный шар белый. Установить, зависит ли В от А.

условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило: P AB P A P AB .

Следствие. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P AB P A P B .

Следствие. Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P A1 A2 ... An P A1 P A2 ... P An .

Задача. Медсестра обслуживает в палате трех больных. Вероятность того, что в течении часа внимания сестры потребует первый больной равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,25. Найти вероятность того, что в течение часа: а) все больные потребуют внимания медсестры, б) только один больной

Решение:

6

Задача. Студент пришел на экзамен, зная 40 вопросов из 50. В билете два вопроса. Какова вероятность, что студент ответит на оба вопроса?

Решение:

17.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение: События H1,H2,...,Hn образуют полную группу

попарно несовместных событий, если выполняются следующие условия:

эти события попарно несовместны, то есть Hi Hj V при i j(произведение любых двух из них есть невозможное событие);

События H1,H2,...,Hn принято называть гипотезами.

Пусть некоторое событие A может происходить только после реализации одного из событий H1,H2,...,Hn , образующих полную

этом случае будет справедлива формула:

n

P A P Hi P AHi ,

i 1