ТЭС_часть2

67. Квазиоптимальные фильтры.

На практике в ряде случаев оптимальный фильтр трудно реализовать или их преимущества перед реальными фильтрами оказываются незначительными. В таких случаях от использования согласованных фильтров отказываются и применяют квазиоптимальные фильтры, у которых наблюдается незначительное уменьшение отношения мощности сигнала к мощности шума по сравнению с согласованными фильтрами.

Квазиоптимальный фильтр – фильтр с заданной формой АЧХ, но с шириной полосы пропускания, обеспечивающей при заданной форме характеристики максимум отношения мощности сигнала к мощности шума.

Таким образом, квазиоптимальный фильтр согласован с сигналом не по форме, а лишь по ширине полосы пропускания, что очень удобно при реализации.

Можно показать, что для прямоугольного сигнала (радиоимпульса) максимум отношения мощности сигнала к мощности помехи обеспечивается при ширине ∆f = 1,37T , где

T −длительность прямоугольного сигнала, при использовании идеального фильтра с прямоугольной АЧХ. При этом проигрыш по отношению мощности сигнала к мощности помехи будет составлять 18% по сравнению с оптимальным фильтром, а если в качестве фильтра использовать одиночный колебательный контур для прямоугольного

радиоимпульса и взять полосу ∆f = 0,4T проигрыш при этом составит 18%.

А если взять полосу ∆f = 0,72T фильтра с гауссовской характеристикой:

, то проигрыш составит всего 9%.

Если квазиоптимальный фильтр дополнить схемой гашения, то он ещё более приближается к оптимальному фильтру.

Всё это было для одиночных импульсов.

Если мы работаем с последовательностью импульсов, то появляется наложение за счёт «хвостов», т.е. один импульс ещё не закончился, а него уже накладывается другой импульс. Для ликвидации «хвостового» эффекта требуется дополнительное увеличение

полосы пропускания до величины T2 .

51

68. Методы приема сигнала. Метод однократного отсчета.

Постановка задачи:

Мы рассматриваем простейший случай – обнаружение сигнала s(t ) с амплитудой "a" на фоне помехи n(t ). Пусть помеха n(t ) нормальная (гауссовская) и аддитивная. На входе

может быть, как радиосигнал, так и видеосигнал.

Телеграфный сигнал и видеоимпульс, заполненный гармоническими колебаниями (радиотелеграфный сигнал):

Простейший способ приёма – метод однократного отсчёта или метод укороченного контакта.

Суть метода в том, что в некоторый момент времени t = t0 берётся отсчёт x = a + n . Если

в этот момент времени отсчёт будет определяться суммой сигнала и помехи, то считается, что сигнал присутствует. А если отчет будет равен только помехе x = n , то сигнал отсутствует. В этом случае приёмник содержит решающе устройство, которое выдаёт решение о наличии сигнала на входе, если амплитуда отсчёта больше некоторого порогового значения x0 и считается, что сигнала нет, если значение отсчёта меньше

порога. Для определения правила принятия решения необходимо выбрать определённый критерий. Пусть ω0 (x)−плотность вероятности помехи, а ω0 (x)−плотность вероятности

смеси сигнала и помехи.

52

При выбранном пороге x0 вероятность принятия ошибочного решения о наличии

сигнала при его отсутствии (ложная тревога) будет определять выражением:

P(xx0 )= ∞∫ω0 (x)dx .

x 0

Вероятность неправильного решения об отсутствии сигнала при его наличии (пропуск цели):

x0

P(0S )= ∫ω1 (x)dx .

−∞

Допустим, что: P(S )−вероятность посылки, а P(0)−вероятность паузы (отсутствия

сигнала).

Полная вероятность ошибки:

Обычно априорные вероятности берут равными, тогда выражение упроститься:

Если требуется получить минимум средней вероятности ошибки, то продифференцируем выражение ( ) по "x0 " и приравняем к нулю.

dP = 1 ω1 (x0 )+ω0 (x0 ) = 0 , когда ω0 (x0 )=ω1 (x0 ). dx0 2

Таким образом, при выбранном критерии пороге определяется абсциссой в точке пересечения плотностей вероятностей ω0 (x0 ) и ω1 (x0 ). Трудно видеть, что уровень

действительно обеспечивает минимум вероятности ошибки, которая определяется площадью заштрихованной части.

Если взять порог больше чем x0 : x > x0 , то уменьшиться вероятностьP(S0), но увеличиться вероятность P(0S ).

Если взять порог меньше, чем x0 : x < x0 , то увеличиться вероятность P(S0), но уменьшиться вероятность P(0S ).

Пусть помеха имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию σ 2 , т.е. N(0,σ 2 ) . В отсутствии сигнала s(t ) плотность вероятности:

При наличии сигнала s(t )+ n(t ) распределение вероятности останется таким же нормальным, но очевидно, что математическое ожидание буде равно "a", т.е. N(a,σ 2 ) :

Приравняем ( ) и ( ): ω1 (x)=ω0 (x).

53

В результате вычислений получим: x0 = 12 a .

Определим вероятность принятия неправильного решения о наличии сигнала при его отсутствии:

заштрихованной фигуры:

В нашем случае отношение мощности сигнала к мощности шума будет равно:

Вероятность принятия неправильного решения об отсутствии сигнала при его наличии:

Таким образом, средняя вероятность ошибки на приёме:

В общем случае мощность помехи может быть большой, т.к. она зависит от ширины спектра помехи, которая может быть бесконечным в случае «белого» шума, поэтому метод однократного отсчета нужно использовать только в сочетании с узкополосной фильтрацией.

54

69. Обнаружение сигналов с суммированием отсчетов.

Отношение мощности сигнала к мощности шума при обнаружении сигнала можно значительно повысить, если использовать метод синхронного накопления.

Суть метода:

За время существования сигнала берётся несколько отсчётов: x1 = a + n1

x2 = a + n2

#

xN = a + nN

N

Затем отсчёты суммируются в накопителе: x = ∑xi .

i=1

Как принимается решение о присутствии либо об отсутствии сигнала?

N

Если x = N a + ∑ni , то считают, что сигнал присутствует, а если накопитель даёт нам

i=1

N

только x = ∑ni , то считается, что сигнала нет.

i=1

Можно показать, что оптимальный порог x0 будет равен: x0 = N2 a .

Случайная величина "x", представляющая собой суммирование помехи – дисперсия помехи умноженное на величину "N ".

Отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе приёмника:

Таким образом, отношение мощности сигнала к мощности шума увеличивается в "N "раз, при этом наблюдается значительное уменьшение вероятности ошибки. Выигрыш объясняет тем, что при суммировании отсчётов накопление сигналов происходит по напряжению, а помеха по мощности (току). Метод накопления можно использовать, при обнаружении любого сигнала, описываемого произведением периодических функций, если отсчёт брать синхронно с интервалом равным периоду. Теоретически методом накопления можно обнаруживать очень слабый сигнал, для этого нужно увеличивать длительность накопления. Для каналов с конечной длительностью числа отсчётов не имеет смысла, т.к. отсчёты помех становятся коррелированными, а полученные результаты справедливы лишь для некоррелированных отсчётов (т.е. для независимых, линейно не связанных отсчётов).

55

70. Интегральный прием.

Для сигнала в виде прямоугольного импульса метод синхронного накопления можно также осуществить, если операцию дискретного суммирования отсчётов заменить операцией непрерывного интегрирования на интервале существования сигнала.

интегратора (случайная величина).

Сравнивая это выражение с выражением на выходе оптимального фильтра, заметим, что они эквивалентны.

Эффективная полоса пропускания ∆fΦ = 21T .

Если шум на выходе имеет мощность σ 2 , то полосу частот ограничивают: ∆fΦ < F , то

Отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе интегратора равно:

Это выражение показывает, что при интегральном приёме отношение мощности сигнала к мощности шума увеличивается в "N " раз. N = ∆Tτ = 2FT .

Число "N " представляет собой число независимых, некоррелированных значений помех на интервале (0 ÷T ). Это означает, что дискретное суммирование и интегрирование

обеспечивают одинаковый результат. Однако с точки зрения реализуемости операция интегрирования осуществляется намного проще, чем операция суммирования.

Вкачестве интегратора можно использовать коммутируемую RC −цепочку:

Вэтой цепочке конденсатор синхронно разряжается в конце каждой посылки. Если использовать в качестве сигнале не видеосигнал, а радиосигнал, т.е. сигнал,

заполненный гармоническим колебанием, то интегрирование радиоимпульсов может осуществляться коммутируемым резонатором. Например, контур с высокой добротностью, т.е. частотная характеристика должна быть с очень «крутыми» подъемами и спусками.

Метод накопления суммированием или интегрированием может быть осуществлён при передаче одного и того же сигнала по нескольким независимым каналам.

Под независимыми каналами понимаются каналы, в которых действие помех в каждом из каналов независимы. Каналы могут быть с любым разделением, как по частоте, по времени так и по коду, т.е. они инвариантны.

56

71. Корреляционный прием.

Корреляционный приёмник представляет собой коррелятор:

[Рисунок]

Гетеродин выдаёт местную копию переданного сигнала.

Отсчёт и принятие решения производиться в момент окончания интегрирования.

сигнала в нулевой точке, что есть дисперсия, а это в свою очередь мощность сигнала; Bsn (0)−функция взаимной корреляции, при интервале корреляции равного нулю (τ = 0 )

двух независимых процессов: помехи и опорного сигнала s(t ). Bsn (0)−помеха на выходе приёмника.

Использование наборов корреляторов позволяет осуществить полное разделение нескольких ортогональных сигналов на интервале (0 ÷T ).

При передачи манипулированных колебаний частота и фаза местного гетеродина должна быть равна частоте и фазе принимаемого сигнала. В этом случае рассматриваемый коррелятор одновременно выполняет и функции детектирования. Такой детектор, как и весь приемник, принято называть синхронным или когерентным.

Когерентным приём можно использовать и для амплитудно-модулированных сигналов. Когерентный способ приёма обеспечивает максимально возможную помехоустойчивость равной потенциальной помехоустойчивости. В случае, ели формирование местного опорного сигнала с точностью до фазы затруднительно можно использовать автокорреляционный приёмник.

Таким образом, в качестве опорного сигнала используется задержанный на время задержки τ3 принимаемый сигнал. Величина τ3 должно быть равна длительности

посылки.

В этом случае на выходе приёмника:

Bs (0)−корреляционная функция сигнала; Bn (0)−корреляционная функция помехи;

Bns (0), Bsn (0)−функции взаимной корреляции сигнала и помехи. Причём в общем случае мы не можем приравнять Bns (0) и Bsn (0).

57

Автокорреляционный приёмник используется при относительной фазовой телеграфии, а также для выделения слабых, но длительных сигналов на фоне сильных помех. Оказывается, что при достаточно большом времени интегрирования тремя последними членами: Bn (τ ), Bsn (τ ), Bns (τ ) можно пренебречь.

В рассматриваемом случае опорный сигнал подвержен помехам, поэтому по помехоустойчивости автокорреляционный приёмник несколько уступает корреляционному приёмнику.

При любом способе приёма для уменьшения уровня различных помех используется узкополосная фильтрация.

При приёме манипулированных сигналов оптимальная фильтрация может стоять, как до детектора, так и после него.

При когерентном приёме фильтрация до детектора и после детектора равноценны. При некогерентном приёме фильтрация до детектора обеспечивает более высокую помехоустойчивость по сравнения с фильтрацией после детектора.

Все рассмотренные методы обеспечивают практически одинаковые результаты и все известные методы обработки можно едино формализовать:

y(T )= T∫x(t) ϕ(t )dt =T∫s(t ) ϕ(t )dt + T∫n(t ) ϕ(t )dt =a +ξ , где

Если ϕ(t ) =1, то мы имеем интегральный приём.

Если ϕ(t )= s(t ), то мы имеем корреляционный когерентный приём. Если ϕ(t )= x(t +τ ), то мы имеем автокорреляционный приём. Если ϕ(t )= s(T −τ ), то мы имеем оптимальную фильтрацию. Можно показать, что дисперсия случайной величины равна:

ξ2 = ∆Tτ Eϕ En , где

Eϕ −энергия весовой функции ϕ(t ); En −энергия помехи;

∆τ −интервал корреляции помехи.

Весовая функция должна выбираться из условия максимального полезного сигнала. Амплитуда полезного сигнала будет равна:

a = T∫s(t )ϕ(t )dt .

0

При фиксированной энергии весовой функции Eϕ :

Тогда отношение мощности сигнала к мощности шума при когерентном приёме:

58

72. Амплитудная телеграфия. Некогерентный прием.

Манипулированные сигналы

Если "1", то есть сигнал, а если "0" сигнала нет.

В случае, когда есть сигнал, мы имеем гармонический сигнал s(t ) = a cos(ω0t +ϕ), где

0 ≤ t ≤T .

Имеется приёмник на вход, которого поступает смесь сигнала и помехи, причём помеха аддитивная:

x(t ) = s(t )+ n(t ) = a cos(ω0t +ϕ)+ n(t ).

Возможны два способа приёма амплитудно-манипулорованных (АМ) колебаний: когерентный и некогерентный.

Рассмотрим некогерентный приемник и покажем блок – схему приёмника:

Фильтр высоких частот подавляет сосредоточенные помехи и уменьшает мощность флуктуацияонных шумов. Затем сигнал детектируется линейным амплитудным детектором (происходит выделение огибающей сигнала) и поступает на фильтр нижних частот, в котором происходит фильтрация высокочастотный составляющих. В момент времени t = t0 обычно в середине импульса, т.к. это место наименее подвержено помехам,

значение огибающих принятого сигнала сравнивается с некоторым пороговым уровнем x0 . Если значение огибающих превосходит уровень x0 , то принимается решение о

наличии сигнала, в противном случае об отсутствии сигнала.

При передаче нулевых символов огибающая принятого сигнала будет иметь рэлейевское распределение вероятности:

59

Вернёмся к одному из методов приёма, а именно к методу однократного отсчёта:

При выбранном пороге x0 вероятность ошибки при передаче нуля равна вероятности того, что значение огибающей будет больше, чем x0 :

P(10)= ∞∫ω0 (x)dx ,

x 0

При передаче единицы соответственно вероятность того, что значение огибающей будет меньше, чем x0 :

x 0

P(01)= ∫ω1 (x)dx .

∞

Оптимальный порог будет при минимуме средней вероятности ошибки:

Если подставить значение рэлейевкого распределения вероятности, то мы получим трансцендентное уравнение, которое в общем случае не решается.

Хотя при разных значениях мощности сигнала к мощности помехи можно вытащить значение порога относительно амплитуды полезного сигнала При большом отношении мощности сигнала к мощности помехи:

При h2 ≥ 5 оптимальный порог будет равен x0 = a2 .

При малом отношении мощности сигнала к мощности помехи величина порога будет зависеть, как от амплитуды сигнала, так и от мощности помехи.

С учётом вышесказанного вероятность ошибки будет равна:

где h2 − отношение мощности сигнала к мощности помехи на входе детектора:

60