- •Элементы теории функции комплексного переменного
- •§1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции
- •§3. Основные элементарные функции комплексного переменного
- •6. Обобщенные степенная и показательная функции
- •§3. Производная функции комплексного переменного. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •§4. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§6. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •§7. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
Элементы теории функции комплексного переменного
§1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции
Говорят, что на множестве D точек плоскости задана функция , если каждой точке поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений комплексного переменного .
Например, – однозначная функция, – многозначная функция.
Мы будем рассматривать только такие функции, для которых множества D и G являются областями, причем D называется областью определения, а G – областью значений функции .
Определение. Функция называется однолистной в области , если любым различным значениям , взятым из области , соответствуют различные значения функции: .
Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных , :
, (1)
где , .
Это позволяет свести изучение функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных.
Пример 1. Выделим действительную и мнимую части функции . Так как , имеем
.
Отсюда
, .●
Геометрически заданную на D однозначную функцию можно рассматривать как отображение точек области D плоскости (z) в некоторую область G плоскости (w). В этом отображении и проявляются свойства функции .
|
Точки z, линии , области называют прообразами точек , линий и областей соответственно, а w, , называют образами при отображении .
Если кривая задана параметрическими уравнениями или , , то можно получить параметрические уравнения , представив действительную и мнимую части как функции параметра t:
.
Если в плоскости z кривая задана неявным уравнением , то для нахождения уравнения ее образа в плоскости w при отображении, осуществляемом функцией , достаточно исключить x и y из уравнений
Определение. Комплексное число называется пределом функции при , если для любого найдется такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут .
Существование , где , равносильно существованию и , причем .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и , где – конечное комплексное число.
Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были непрерывными функциями в точке .
Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного. Свойства пределов и непрерывных функции действительного переменного остаются в силе для функций комплексного переменного.
§3. Основные элементарные функции комплексного переменного
1. Дробно-рациональная функция
, . (1)
2. Показательная функция
, (2)
которая является периодической функцией с периодом , т.е. .
3. Тригонометрические функции
, , , (3)
Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функции и могут быть больше 1.
4. Гиперболические функции
, , , . (4)
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:
. (5)
5. Логарифмическая функция
Функция, обратная функции в области ее однозначности, называют главной ветвью натурального логарифма:
(6)
Обратное отображение показательной функции во всей комплексной плоскости:
(7)
Из (9) видно, что логарифмическая функция – функция многозначная, ее значения для данного значения z отличаются друг от друга на число .
Логарифмическая функция комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного.