- •Элементы теории функции комплексного переменного
- •§1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции
- •§3. Основные элементарные функции комплексного переменного
- •6. Обобщенные степенная и показательная функции
- •§3. Производная функции комплексного переменного. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •§4. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§6. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •§7. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
6. Обобщенные степенная и показательная функции
, (8)
где a – любое комплексное число;
, (9)
где .
В силу многозначности логарифма, выражение, определяемое равенством (11), многозначно. Его главным значением называется то, которое получается при подстановке в правую часть (11) вместо Ln a.
Пример 1. ,
Пример 2.
.
§3. Производная функции комплексного переменного. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
Пусть однозначная функция определена в некоторой области и пусть точки и принадлежат области D.
Определение. Если существует конечный предел отношения , когда по любому закону стремится к нулю, то:
1) этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом :
; (1)
2) в этом случае функция называется дифференцируемой в точке .
Все правила и формулы дифференцирования функции действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного.
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы:
1) действительные функции и были дифференцируемы в точке ;
2) в этой точке выполнялись условия
, (2)
называемые условиями Коши-Римана (С-R) или Даламбера-Эйлера.
При выполнении условий (C-R) производная функции может быть найдена по одной из следующих формул:
(3)
Приведем два определения, имеющих фундаментальное значение в теории функции комплексного переменного.
Определение. Однозначная функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности точки .
Определение. Функция называется аналитической в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Аналитичность функции в точке и дифференцируемость в точке – разные понятия. Если функция аналитична в точке, то она, безусловно, дифференцируема в ней, но обратное может и не иметь места. Функция может быть дифференцируема в точке, но не быть дифференцируемой ни в какой окрестности этой точки, в таком случае она не будет аналитической в рассматриваемой точке.
Условием аналитичности функции в области является выполнимость условий Коши-Римана для всех точек этой области.
Пример. Выясним, является ли аналитичной функция .
Так как , имеем . Отсюда
, .
Проверим выполнение условий (C-R):
,
.
Условия (C-R) выполняются при любых конечных х и у, значит функция аналитична во всей комплексной плоскости (кроме ).●
Определение. Точки, в которых является аналитической, называются регулярными (правильными). Если аналитична в , за исключением некоторых точек, то эти точки называются особыми. Точка называется изолированной особой точкой, если вокруг нее можно описать круг, не содержащий других особых точек.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть функция дифференцируема в области и . Функция отобразит точку плоскости в точку плоскости , кривую , проходящую через точку – в кривую , проходящую через .
Модуль производной есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между их прообразами и . Поэтому величину можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения (если ) в точке при отображении области в области , осуществляемом функцией . В каждой точке области в каждом направлении коэффициент растяжения будет свой.
|
|
Для аргумента производной можно записать
,
где и это углы и , которые векторы и образуют с действительной осью.
Пусть и углы, образованные касательными к кривой и в точках и с действительной осью. Тогда при , а , поэтому определяет угол, на который нужно повернуть касательную к кривой в точке , чтобы получить направление к касательной к кривой в точке .
Таким образом, геометрический смысл модуля и аргумента производной состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию , модуль k определяет коэффициент преобразования подобия бесконечно малого линейного элемента в точке , а аргумент производной определяет угол поворота этого элемента.
Если рассмотреть две кривые и , и , то углы и между их касательными, вообще говоря, неравные.
Определение. Отображение области на область , обладающее свойствами постоянства растяжений ( ) в любом направлении и сохранения (или консерватизма) углов между двумя кривыми, пересекающимися в точке , называется конформным (подобным в малом).
Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых .
Например, функция задает отображение, которое является конформным во всех точках, кроме точки (0; 0).