Задачи Экзамен физика 1 семестр

11

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка двигалась в течение t1=15c со скоростью V1=15м/с, t2=10c со скоростью V2=8м/с и t3=6с со скоростью V3=20м/с. Чему равна средняя скорость за все время движения?

Дано: t1=15c; V1=15м/с; t2=10c; V2=8м/с; t3=6с; V3=20м/с.

Найти: Vср.

Решение. Средняя скорость Vср = St , где S=S1+S2+S3=V1t1+V2t2+V3t3, а t=t1+t2+t3.

Vср = V 1t1 +V 2t2 +V 3t3 . t1 +t2 +t3

Ответ: Vср=8,9м/с.

Задача 2. Первую половину пути тело прошло за время t1=2c, вторую – за время t2=8c. Чему равна средняя скорость на длине пути 20м?

Дано: t1=2c; t2=8c; S1=S2=S/2; S=20м.

Найти: Vср.

Решение. Средняя скорость Vср = St = t1 +S t2 .

Ответ: Vср=2,0м/с.

Задача 3. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x1=A1t+B1t2+C1t3 и x2=A2t+B2t2+C2t3, где A1=4м/с, B1=8м/с2, C1=-16м/с3, A2=2м/с, B2=-4м/с2, C2=1м/с3. В какой момент времени ускорения этих тел

будут одинаковыми?

Дано: x1=A1t+B1t2+C1t3; x2=A2t+B2t2+C2t3; A1=4м/с; B1=8м/с2; C1=-16м/с3; A2=2м/с; B2=-4м/с2; C2=1м/с3.

Найти: t.

Решение. Найдем ускорения материальных точек как производные второго порядка от уравнений x(t):

a1(t)=x1´´(t)=2B1+6C1t a2(t)=x2´´(t)=2B2+6C2t.

Приравнивая правые части находим t:

2B1+6C1t=2B2+6C2t

Ответ: t=0,24c.

Задача 4. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью V0=20м/с, остановилась через t=40с. Чему равно значение коэффициента трения шайбы о лед?

Дано: V0=20м/с; t=40с.

Найти: k.

12

Решение. Ускорение, с которым движется шайба a=kg. С другой стороны V0=at.

Отсюда a =Vt 0 или kg =Vt 0 k =Vgt0 .

Ответ: k=0,05.

Задача 5. Конькобежец массой m2=60кг, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m1=5кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью V2=1м/с. Чему равна работа, совершенная конькобежцем при бросании гири?

Дано: m2=60кг; m1=5кг; V2=1м/с.

Найти: A.

Решение. Используя закон сохранения импульса найдем скорость гири V1:

m2V 2 . V 1 = 60*1 =12м/с. Работа, совершенная конькобежцем, m1 5

равна сумме кинетических энергий, приобретенных конькобежцем и гирей:

Ответ: А=390Дж.

Задача 6. Линейная скорость V1 точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость V2 точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Найдите радиус диска.

Дано: V1=3V2 .

Найти: R.

Решение. Линейные скорости точки на ободе диска и точки, находящейся на 6см ближе к оси диска, равны соответственно

Ответ: R=0,9м.

Задача 7. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε=3рад/с2. Через t=1с после начала движения полное ускорение колеса a=7,5м/с2.Найдите

радиус колеса.

Дано: ε=3рад/с2; t=1с; a=7,5м/с2.

Найти: R.

Задача 8. Тело массой m=2кг движется по закону S=A-Bt+Ct2-Dt3 (C=2м/с2, D=0,4м/с3). Найдите силу, действующую на тело в конце первой секунды.

Дано: m=2кг; S=A-Bt+Ct2-Dt3; C=2м/с2; D=0,4м/с3.

Найти: F.

Решение. По второму закону Ньютона

F = ma = m dVdt . Скорость V = dVdt =-B+2Ct-3Dt2.

Ускорение a = dVdt = 2C −6Dt .

Сила, действующая на тело F=m(2C-6Dt).

Ответ: F=3,2Н.

Задача 9. Нить с подвешенным грузом массой m=500г поднимают с ускорением 2м/с2. Чему равна при этом сила натяжения нити?

Дано: m=0,5кг; a=2м/с2.

Найти: T.

Решение. Согласно второму закону Ньютона mar =T + mgr. В проекции на вертикальную ось ma =T −mg. Отсюда T=ma+mg=m(a+g).

Ответ: T=6Н.

Задача 10. Снаряд массой m=5кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость V=300м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем большой осколок массой m1=3кг полетел в обратном направлении со скоростью V1=100м/с. Чему равна скорость второго осколка?

Дано: m=5кг; V=300м/с; m1=3кг; V1=100м/с.

горизонтальную ось mV = −m1V 1 + m2V 2 . Масса второго осколка m2=m-m1.

mV = −m1V 1 +(m −m2)V 2 . Отсюда получаем V 2 = mV + m1V 1 . m −m1

Ответ: V2=900м/с.

Задача 11. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24Дж. Чему равны кинетические энергии поступательного и вращательного движения диска?

Дано: Т=24Дж. Найти: Т1; Т2.

T1 = 322 =16 Дж, T2 = 324 =8 Дж.

Ответ: Т1=16Дж, Т2=8Дж.

Задача 12. Шар радиусом R=10см и массой m=5кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ=A+Bt2+Ct3 (B=2рад/с2, С=-0,5рад/с3). Чему равен момент сил для момента времени t=3c?

Дано: R=0,1м; m=5кг; φ=A+Bt2+Ct3; B=2рад/с2; С=-0,5рад/с3; t=3c.

Найти: М.

Ответ: M=-0,1Н·м.

Задача 13. Горизонтальная платформа (диск) массой m=25кг и радиусом R=0,8м вращается с частотой n1=18мин-1. Стоящий в центре человек, опустив руки, уменьшает свой момент инерции от I1=3,5кг·м2 до I2=1кг·м2. Какое значение принимает при этом частота вращения платформы?

Дано: m=25кг; R=0,8м; n1=18мин-1; I1=3,5кг·м2; I2=1кг·м2.

Найти: n2.

Решение. Платформа с человеком составляет замкнутую систему, поэтому для него L=const. L=Iω=const, т.е. (I1+I)ω1=(I2+I)ω2.

Здесь момент инерции платформы I = mR2 2 , ω1=2πn1, ω2=2πn2. Подставляя в

равенство получаем (I1 + mR2 2 )n1 = (I2 + mR2 2 )n2 . Отсюда n2 = 2I1 + mR2 n1 . 2I2 + mR2

Ответ: n2=23мин-1.

15

Задача 14. На какой высоте от поверхности Земли период обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите составляет 3ч?

Дано: Т=3ч. Найти: Н.

Решение. При движении искусственного спутника Земли по круговой орбите центростремительная сила равна гравитационной силе тяготения:

mVr 2 =G mMr 2 . Здесь r=Rз+H, V=ωr= 2Tπ r . Тогда r = 3 GMT4π2 2 или H = 3 GMT4π2 2 − Rз .

Ответ: H=4,2·106м.

Задача 15. Если считать плотность Земли постоянной, то на какой глубине ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли?

Дано: g´=0,25g.

Найти: h.

Решение. Внутри Земли ускорение свободного падения прямо пропорционально

расстоянию от центра Земли. Поэтому g| = RЗ −h . g Rз

Отсюда h = Rз(1− g| ) = (1− 0,25g ) Rз=0,75Rз. g g

Ответ: h=0,75Rз.

Задача 16. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите. Чему равно отношение его гравитационной потенциальной энергии к кинетической энергии?

Дано: r=Rз.

Решение. Потенциальная гравитационная энергия спутника по модулю равна

Задача 17. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h=500км. Чему равна скорость его движения?

Дано: h=5·105м.

Найти: V.

16

Решение. Центростремительная сила, удерживающая спутник на круговой орбите, равна гравитационной силе притяжения:

вертикальную петлю Нестерова радиусом R=360м. Чему равна сила, прижимающая летчика к сидению в нижней точке этой петли?

Дано: V=100м/с; R=360м.

Найти: F.

Решение. В нижней точке петли сила, прижимающая летчика к сидению, равна

F = mV 2 + mg = m(V 2 + g) . R R

Ответ: F=3·103Н.

Задача 19. Чему равна работа, затрачиваемая на преодоление трения при перемещении воды объемом V=1,5м3 в горизонтальной трубе от сечения с давлением P1=40кПа до сечения с давлением P2=20кПа?

Дано: V=1,5м3; P1=40кПа=40·103Па; P2=20кПа=20·103Па.

Найти: А.

Решение. При перемещении воды вдоль трубы на нее действует сила

F=(P1-P2)S. Работа этой силы A=F·l=(P1-P2)S·l=(P1-P2)V. Ответ: A=30·103Дж.

Задача 20. В текущей жидкости с динамической вязкостью η=10-3Па·с между слоями площадью соприкосновения S=10см2 возникает сила трения

F=0,1мН. Чему равен градиент скорости?

Дано: η=10-3Па·с; S=10-3м2; F=10-4Н.

Найти: dVdx .

Решение. Согласно закону Ньютона для вязких жидкостей сила трения между слоями жидкости равна F =η dVdx

dVdx =ηFS .

Ответ: dVdx =100с-1.

17

Задача 21. Чему равно увеличение времени жизни t нестабильной частицы t0

(по часам неподвижного наблюдателя) при движении со скоростью 0,9с?

Дано: V=0,9с.

Найти: t . t0

Решение. Увеличение времени в релятивистской механике определяется

Задача 22. Чему равна относительная скорость движения, при которой релятивистское сокращение линейных размеров составляет 10%?

Дано: ∆ll = 0,1.

Найти: V.

Решение. Релятивистское сокращение линейных размеров определяется

Ответ: V=1,31·108м/с.

Задача 23. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью 0,5с. Чему равна при этом скорость сближения ракет?

Дано: V1=V2=0,5с.

Найти: U.

Решение. Сложение скоростей в релятивистской механике определяется формулой

U = V 1 +V 2 . 1+Vc1V2 2

Ответ: U=0,8с.

Задача 24. Чему равно отношение полной энергии частицы, движущейся со скоростью V=0,8с, к ее энергии покоя?

Дано: V=0,8с.

Найти: E .

E0

18

Решение. Полная кинетическая энергия частицы определяется формулой

Ответ: E =1,67.

E0

Задача 25. Чему равен релятивистский импульс протона при его скорости

V=0,8с? Дано: V=0,8с.

Найти: P.

Задача 26. Чему равна работа, которая необходима для увеличения скорости частицы от 0,5с до 0,7с?

Дано: V1=0,5с; V2=0,7c.

Найти: A.

Решение. Работа равна увеличению кинетической энергии частицы: A=T2-T1;

Ответ: A=0,245m0c2.

Задача 27. Найдите момент инерции материальной точки массой m=0,3кг относительно оси, отстоящей от точки на расстоянии r=20см.

Дано: m=0,3кг; r=0,2м.

Найти: I.

Решение. Момент инерции материальной точки определяется формулой I=mr2.

Ответ: I=0,012кг·м2.

Задача 28. Чему равна работа, совершаемая при равноускоренном подъеме груза m=100кг на высоту h=4м за время t=2с?

Дано: m=100кг; h=4м, t=2с.

Найти: А.

Решение. При равноускоренном подъеме груза сила, приложенная к грузу, равна

F=ma+mg. Ускорение a найдем из уравнения h = at22 a = 2t h2 .

19

Работа A = F * h = m(a + g) at22 .

Ответ: A=5600Дж.

Задача 29. Чему равна работа силы, равномерно возрастающей от 10Н до 46Н, на пути 12м?

Дано: F1=10Н; F2=46Н; S=12м.

Найти: A.

Решение. При равномерном возрастании силы работу можно определить по формуле A=Fср·S, где Fср = F1 +2 F 2 . Тогда A = F1 +2 F 2 S .

Ответ: A=336Дж.

Задача 30. Пуля массой m=10г летит со скоростью V=800м/с, вращаясь около продольной оси с частотой n=3000об/с. Если считать пулю за цилиндрик диаметром d=8мм, то чему равна его полная кинетическая энергия?

Дано: m=0,01кг; V=800м/с; n=3000об/с; d=8·10-3м.

Найти: E.

Решение. Полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений: E = mV2 2 + Iω2 2 . Момент инерции

Ответ: E=3200Дж.