166

0

0

S 4S1

4

3

t

3a cos

2

t ( sin t) dt

y(t) x

(t) dt

4 a sin

2

2

2

2

12a2

sin 4 t cos2 t dt 12a2

sin 2 t sin 2 t cos2 t dt

0

0

2

sin 2 2t

2

2

12a

2

1 cos 2t

dt

3

a

2

2

2t

2

2t cos 2t dt

J .

2

4

2

sin

dt sin

0

0

0

2

2

2

2

2t dt

1

1

cos 4t dt

1

sin 4t

.

sin

2

2

t

4

4

0

0

0

2

u sin t,

du cos 2t 2dt,

0

2

2t cos 2t dt

1

2

du 0 .

sin

t 0 u 0,

t 2 u 0

2

u

0

0

J

3

a

2

3a2

(кв.ед.).

2

4

8

8.2

Вычисление площади в полярных координатах

Пусть дан криволинейный сектор OAB , ограниченный радиусами-

векторами OA и OB , и кривой, уравнение которой задано в полярных коор-

динатах

( )

(рис. 5.9). При

B

этом предположим, что ( ) не-

Ai M

прерывная на [ ; ] функция.

Ai 1

Пусть радиус-вектор OA об-

i

разует с осью l

угол , а радиус-

A

вектор OB – угол . Разобьем угол

~

OAB на части с помощью лучей,

i

выходящих из полюса

O и обра-

O

l

зующих с полярной осью углы:

Рис. 5.9

1 2 n 1 ;

обозначим 0

и n .

Обозначим точки пересечения лучей с кривой через A1 ,

A2 , …,

An 1 . Криво-

линейный сектор OAB разобьется на n малых криволинейных секторов

An 1OB соответственно

равны 1

1 0 ,

2 2

1 , …,

n n n 1 . Если обозначить че-