85

x x

f (x)

1

1

1 E . Таким образом,

0

0

f (x)

f (x)

x : 0

1

получили, что для любого

x x

0

E , следовательно,

f (x)

1

является б/б функцией при x x .

f (x)

0

§ 11. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если функция

f (x)

имеет предел в точке

x0 , равный b ,

т.е.

lim

f (x) b ,

то

функцию f (x)

можно

представить в

виде

x x0

– б/м функция при x x0 .

f (x) b (x) , где функция (x)

Доказательство.

Пусть

lim

f (x) b .

x x0

– б/м функция при x x0 .

Рассмотрим

f (x) b (x) . Докажем,

что (x)

То, что lim f (x) b означает, что для любого 0

существует 0

такое,

x x0

что для любого x :

0

x x0

f (x) b

(x)

, следо-

вательно, (x) – б/м функция при x x0 .

Теорема 2 (обратная к теореме 1).

Если

функцию

f (x)

можно

б/м при x x0 , т.е.

f (x) b (x) , то существует

lim f (x) b .

x x0

Доказательство.

Пусть функция f (x)

представима в виде

f (x) b (x) ,

где (x) – б/м функция при x x0 . Это значит: для любого

0

существу-

ет

0

такое,

что

для

любого

x :

0

x x0

(x)

f (x) b

, следовательно, существует

lim

f (x) b .

x x0

Теорема 3.

Пусть

lim

f (x) a и

lim g(x) b .

x x0

x x0

Тогда функция

f (x) g(x) имеет в точке x0

предел

lim

f (x) g(x) a b lim

f (x) lim g(x) .

x x0

x x0

x x0

Доказательство. По теореме 1 имеем:

f (x) a (x) ,

где (x)

– б/м функция при x x0 ,

g(x) b (x) ,

где (x)

– б/м функция при x x0 .

Тогда:

f (x) g(x) a b ( (x) (x)) .

86

Т.к.

(x) 1 (x)

( (x) (x) ) – б/м функция при x x0 ,

ограниченная

б/м функция

функция

следовательно, ( (x) (x) ) – б/м функция при x x0 . Тогда по теореме 2:

lim

f (x) g(x) a b lim

f (x) lim g(x) .

x x0

x x0

x x0

Теорема 4. Пусть lim f (x) a и lim

g(x) b .

x x0

x x0

Тогда функция

f (x) g(x)

имеет в точке x0 предел

lim

f (x) g(x)

a b lim

f (x) lim g(x) .

x x0

x x0

x x0

Доказательство. По теореме 1 имеем:

f (x) a (x) ,

где (x)

– б/м функция при x x0 ,

g(x) b (x) ,

где (x)

– б/м функция при x x0 .

Тогда:

f (x) g(x) (a (x)) (b (x)) a b a (x) (x) b (x) (x) .

огран. ф-я

б/м

б/м

б/м

огран.

б/м ф-я

ф-я

ф-я

ф-я

ф-я

Сумма б/м функций есть б/м функция, т.е.

a (x) (x) b (x) (x) (x) ,

где (x) –

б/м функция при x x0 .

Тогда по теореме 2:

lim f (x) g(x) a b lim

f (x) lim g(x) .

x x0

x x0

x x0

ла:

c f (x) c lim f (x) .

lim

x x0

x x0

lim

f (x) n

lim

f

(x) n .

x x0

x0

x

Теорема 5. Пусть lim

f (x) a и

lim

g(x) b 0 .

x x0

x x0

Тогда функция

f (x)

имеет предел

g(x)

f (x)

lim f (x)

a

lim

x x0

.

g(x)

lim g(x)

b

x x0

x x0