Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями

Зададим две функции одной и той же переменной t ; обозначим их через x и y :

x x(t) ,

y y(t) .

(*)

Задание этих функций означает задание функциональной зависимости между переменными x и y . В самом деле, для каждого значения t (в неко-

торой области) из системы (*) находятся значения x и y , которые и являются соответствующими друг другу.

Определение. Задание функциональной зависимости между двумя переменными, состоящее в том, что обе переменные определяются каждая в отдельности как функция одной и той же вспомогательной переменной, называется параметрическим, а вспомогательная переменная – параметром.

Отыскание по системе (*) непосредственной связи между переменными x и y без участия переменной t называется исключением параметра.

Пример 2.

x t,

Пусть функция задана параметрическим уравнениями:

y cos t.

Исключая параметр t , получим y cos x .

Замечание. Не всегда можно провести операцию исключения параметра. Например, если хотя бы одна из функций системы (*) постоянна.

Теорема.

Пусть функция

y f (x) , определенная в

O(x0 ) , задается

параметрическими уравнениями

x x(t),

где

x(t)

и y(t)

–

дифференци-

y y(t),

руемые функции в точке t0

( x0 x(t0 ) ), причем функция x(t)

монотонна в

O(t0 ) . Тогда функция y f (x)

дифференцируема в точке x0 и имеет место

следующая формула:

Доказательство.

lim

yt (t)

yx lim

lim

t 0

x (t)

x 0

lim

t 0

(функция x x(t)

– дифференцируема, следовательно, непрерывна, следова-

тельно, функция

t t(x) – непрерывна, следовательно, lim t 0 ).

x 0

19.6 Геометрический смысл производной

Определение. Касательной M 0T к линии L в ее точке M 0 (рис. 3.20) называется предельное положение прямой, проходящей через точ-

ку M 0 и другую точку

M линии, когда эта точка M стремится слиться с

данной точкой M0 .

Теорема.

Если значение производной от функции y f (x) при x x0

равно f (x0 ) ,

то прямая, проведенная через точку M0 (x0 ; y0 ) с угловым ко-

эффициентом,

равным

f (x0 ) , является касательной к графику функции в

точке M0 .

Проведем через точку M0

(рис. 3.20) прямую M0T с уг-

Доказательство.

ловым коэффициентом

f (x0 ) , это значит, что f (x0 ) tg , где – угол на-

клона прямой

M0T к оси абс-

цисс. Придадим затем x0 при-

y0 y

ращение

x ,

возьмем точку

M , лежащую на графике

функции

и соответствующую

значению

аргумента

x0 x ,

проведем секущую M0 M . Уг-

ловой коэффициент этой секу-

x0 x

щей равен

y , где

M0 R

Рис. 3.20

y f (x0 x) f (x0 ) .

Пусть теперь x 0 , то-

гда точка M будет стремиться по линии L к точке M 0 . Секущая M0 M при

этом поворачивается вокруг точки M0

и ее угловой коэффициент стремится

по условию теоремы к определенному пределу

lim

f (x0 ) ,

(*)

x 0

равному угловому коэффициенту прямой M0T . По формуле для тангенса угла между двумя прямыми ( M0T и M0 M )

f (x0 ) y tg TM 0 M xy .

1 f (x0 ) x

В силу равенства (*) при x 0 числитель дроби стремится к нулю, а знаменатель – к числу 1 f (x0 ) 2 0 . Поэтому tg TM0 M стремится к нулю, а значит, и сам TM 0M тоже стремится к нулю. Таким образом, прямая M 0T является касательной.

Геометрический смысл производной. Значение производной угловому коэффициенту касательной к графику функции y абсциссой x0 .

f (x0 ) равно f (x) в точке с

19.7 Уравнения касательной и нормали к линии

Составим уравнение касательной к линии l , являющейся графиком функции y f (x) в ее точке M0 (x0 ; y0 ) , где y0 f (x0 ) (рис. 3.21). Т.к. каса-

тельная проходит через точку M0 (x0 ; y0 )

и имеет угловой коэффициент, равный

f (x0 ) , то ее уравнение имеет вид

y y0

f (x0 )(x x0 ) .

(1)

Определение.

Нормалью к линии

в ее точке M0 называется прямая, про-

ходящая

через

точку M 0 перпендику-

лярно касательной данной линии, по-

Рис. 3.21

строенной в точке M0 .

Т.к. нормаль к линии l в точке M 0

проходит через точку

M0 (x0 ; y0 ) и имеет угловой коэффициент,

равный

, то ее уравнение имеет вид

f (x0 )

y y

(x x ) .

(2)

(x0 )

19.8

Дифференцирование элементарных функций

y C – const :

y 0 .

Доказательство.

lim

y(x x) y(x)

lim

0 .

x 0

y ax :

y ax ln a .

Доказательство.

ax x ax

ax lim

a x

1 t,

lim

x loga (t 1),

x 0 x

x 0

x 0, t 0

a x lim

(*)

a x a x ln a .

loga e

ln e

t 0 loga (t 1)

ln a

100

(*):

loga (t 1)

1 t

loga e .

loga (t 1) loga (t 1)

t 0

Таким образом,

ln a .

)

y ex :

y ex

(частный случай п.2).

y loga x :

x ln a

Доказательство.

x x

log

loga (x

x) loga x

y lim

lim

x 0

log

x x

lim

log

x 0

x x x

loga e

ln e

lim loga 1

ln a

x ln a

x 0

Таким образом,

loga

x ln a

y ln x :

y 1x

(частный случай п.4).

y sin x :

y cos x .

Доказательство.

lim sin(x x) sin x

sin sin 2sin cos

x 0

		2sin	x	cos 2x x
	lim		2		2	lim
	lim			x		lim
	x 0			x		x 0
					cos x .
Таким образом, sin x					cos x .

x
sin 2	lim cos x	x	1 cos x cos x .
x	lim cos x	2	1 cos x cos x .
x	x 0	2
2

7. y cos x :	y sin x .
Доказательство.
y lim cos(x x) cos x		cos cos 2sin		sin
y lim cos(x x) cos x		cos cos 2sin		sin
x 0	x		2		2

Таким образом,

101

	2sin	x		x		sin x
	2sin		sin x			sin x		x
		2		2		2		x
lim		2		2	lim	2	lim sin x
lim			x		lim	x	lim sin x	2
x 0			x		x 0	x	x 0	2
						2

1 sin x sin x .

Таким образом, cos x sin x .

y tg x :

cos2 x

Доказательство.

sin x

(sin x)

cos x (cos x)

tg x

cos x

cos2 x

cos x cos x sin x sin x

cos

2 x sin

2 x

cos2 x

cos2

Таким образом,

tg x

cos2 x

y ctg x :

sin2 x .

Доказательство.

cos x

(cos x)

sin x (sin x)

ctg x

sin x

sin2 x

sin x sin x cos x

cos x

sin2 x cos2

sin2 x

sin2

ctg x sin12 x .

10. y arcsin x :

1 x2 .

Доказательство.

Пусть

y arcsin x ,

тогда x sin y

– обратная функция.

cos y . Следовательно,

по теореме о производной обратной

Отсюда x( y)

функции:

y(x)

cos y

1 sin

1 x

x( y)

Таким образом,

arcsin x

1 x2

102

Замечание.

Корень берется со знаком “+”, потому что значения функции

y arcsin x

лежат в интервале

2; 2 , а cos y в этом интервале положи-

телен. При

y 2 , т.е. для

x 1

производной не существует, хотя сама

функция y arcsin x в этих точках определена.

11.

y arccos x :

1 x2 .

Доказательство.

Пусть

y arccos x ,

тогда

x cos y

– обратная функция.

Следовательно:

y(x)

sin y

1 cos

1 x

x( y)

Таким образом,

arccos x

1 x2

12.

y arctg x :

1 x2

Доказательство.

Пусть

y arctg x ,

тогда

x tg y

–

обратная

функция.

Следовательно:

y(x)

cos

x( y)

1 x

cos2 y

Таким образом,

arctg x

1 x2

13.

y arcctg x :

1 x2 .

Доказательство.

Пусть

y arcctg x ,

тогда

x ctg y

–

обратная функция.

Следовательно:

y(x)

sin

x( y)

1 ctg

sin2 y

Таким образом,

arcctg x

1 x2

14.

y xn :

y n xn 1 .

Доказательство.

Пусть y xn , тогда xn

eln x n

en ln x . Следовательно:

n ln x

n 1

n ln x n e

ln x

n e

x n x

n x

Таким образом,

xn n

xn 1 .

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20182.4 Mб4LR_4.docx
#
23.08.2019283.11 Кб5LVDS.docx
#
17.03.2015417.95 Кб10lкодекс корпоративного поведени башнефть.pdf
#
17.03.20151.74 Mб433M-300-C_RUS.pdf
#
05.08.20195.94 Mб4matem.docx
#
17.03.20153.09 Mб51Matematika_1.pdf
#
04.12.2018318.46 Кб6material 2.doc
#
17.03.201523.58 Кб15materialka.docx
#
06.03.201618.45 Кб21materialoved.docx
#
07.12.2018243.71 Кб6Materialovedenie.doc
#
17.03.20153.56 Mб43Mathematics.Part 1.pdf