- •Ярославский государственный университет
- •2. Геометрическая (лучевая) оптика
- •3. Законы отражения и преломления света
- •4. Явление полного внутреннего отражения
- •1. Линзы. Ход лучей и построение изображений
- •2. Аберрации (погрешности) линз
- •3. Устройство и ход лучей в микроскопе
- •1. Волновые явления. Принцип Гюйгенса
- •2. Интерференция света
- •3. Дифракция света на круглом отверстии. Зоны Френеля
- •4. Дифракция Фраунгофера от щели
- •5. Дифракционная решетка
- •6. Дисперсия света
- •7. Поглощение света
- •1. Поляризованный свет
- •2. Методы получения поляризованного света
- •3. Явление вращения плоскости поляризации
- •Квантовая оптика
- •1. Тепловое излучение
- •2. Формулы Рэлея-Джинса и Планка
- •1. Фотоэффект
- •2. Тормозное рентгеновское излучение
- •3. Опыт Боте. Фотоны. Давление света
- •4. Эффект Комптона
- •6. Фотолюминисценсия
- •Квантовая физика и физика атома
- •1. Модели атома
- •1.1. Закономерности атомных спектров
- •1.2. Модель атома Томсона
- •1.3. Опыты Резерфорда. Ядерная модель атома
- •1.4. Постулаты Бора. Опыт Франка-Герца
- •Элементарная боровская теория атома водорода
- •1. Гипотеза де-Бройля. Волновые свойства вещества
- •2. Уравнение Шредингера
- •3. Квантово-механическое описание движения микрочастиц
- •4. Свойства волновой функции. Квантование
- •5. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Прохождение частиц через потенциальный барьер
- •6. Прохождение частицы через барьер
- •Квантово механическая теория атома водорода
- •Ядерная физики и физика элементарных частиц
- •1. Состав и характеристика атомного ядра
- •2. Масса и энергия связи ядра
- •3. Природа ядерных сил
- •4. Радиактивность
- •5. Ядерные реакции
- •Фундаментальные взаимодействия и элементарные частицы
2. Уравнение Шредингера
Обнаружение волновых свойств микрочастиц делало необходимым создание новой механики, которая бы могла описать данные свойства. Эта механика получила название квантовой.
Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера:
, (2)
которое нельзя вывести из каких-либо известных ранее соотношений, аналогично второму закону Ньютона в классической механике. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем обстоятельством, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами. Состояние микрочастицы в этом уравнении описывается так называемой волновой функцией (x, y, z, t) – пси функцией, которая может быть найдена путем решения данного уравнения. Остальные величины, входящие в эго уравнение, имеют следующие значения: i – мнимая единица; (h– постоянная Планка), m – масса частицы, – оператор Лапласа (),U – потенциальная энергия частицы.
Как следует из уравнения (2), вид волновой функции определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. В общем случае, U есть функция координат и времени. Для стационарного силового поля U волновая функция распадается на два множителя, одни из которых зависит только от времени, а второй – только от координат:
, (3)
где Е – полная энергия частицы.
В самом деле, подстановка функции (3) в уравнение (2) дает:
.
Сокращая все члены этого уравнения на общий множитель и произведя соответствующие преобразования получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию:
(4)
Уравнение (4) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем называть его просто уравнение Шредингера.
К уравнению Шредингера можно прийти путем следующих рассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х имеет, как известно, записывается или в комплексном виде:
, (5)
подразумевая, что надо принимать во внимание вещественную часть этого выражения.
Согласно гипотезе де-Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой и длиной волны . Заменяя и р в выражении (5) энергией и импульсом частицы в соответствии с (1), получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х:
. (6)
Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет фуикция (6), воспользуемся соотношением между Е и р: Е = 2р2/m.
Продифференцировав функцию (6) один раз по t a второй раз дважды по х, получим:
Из этих соотношений можно выразить Е и р2 через функцию и ее производные:
Подставляя последние выражения в соотношение Е = 2р2/m получим дифференциальное уравнение:
.
В общем случае, если направление волны не совпадает с осью х фаза колебаний будет зависеть от всех координат: х, у и z и уравнение будет совпадать с уравнением Шредингера (4) для случая U = 0 (частица по условию свободна):
. (7)
Таким образом, мы получили уравнение Шредингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует обобщить уравнение (7) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е слагается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U: E = T + U. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (4).
Необходимо, однако, подчеркнуть, что приведенные рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.