31.Наиболее часто встречающиеся в оптике специальные функции в связи с применением теории систем и преобразований
Прямоугольная функция
sinc – функция или ядро Фурье
круговая функция
Фурье-образом rect(x) является sinc(хa), а Фурье-образом
где J1(x) – функция Бесселя первого рода первого порядка. Функция
широко используется в оптике в связи с дифракцией света на круглом отверстии. Она получила специальное название – сомбреро, что соответствует характерному виду описываемой ее в пространстве поверхности.
32.Пространственная когерентность излучения.
Поперечная структура реальных лазерных пучков имеет случайный характер, что обусловлено целым рядом естественных причин: спонтанные шумы, статистика многих поперечных мод.
Рис. 7.1. Причины случайного характера поперечной структуры реальных лазерных пучков
Чем же определяются характерные масштабы поперечных корреляций лазерного излучения? Предположим, что возбуждаемые в лазере моды с различными поперечными индексами m и n вырождены по частоте, тогда многомодовое излучение можно записать следующим образом
где Am,n и ϕm,n - не зависящие от времени комплексные амплитуды и фазы мод, z - координата вдоль направления распространения пучка, отсчитываемая от области перетяжки.
Распределение амплитуд Am,n зависит от типа оптического резонатора и формы зеркал.
Рис. 7.2. Возможные виды распределения интенсивности в поперечном сечении реального лазерного пучка.
Наиболее простой вид распределения амплитуды Am,n имеют для плоскопараллельного резонатора (случай прямоугольных зеркал)
где β, комплексный параметр, зависящий от базы резонатора и апертуры зеркал.
Аналогичный вид имеет функция fn(y).
Для пространственной поперечной корреляционной функции на выходе резонатора по определению имеем:
В случае статистически независимых фаз ϕm,n поперечных мод
Рассчитаем корреляционную функцию вблизи центра пучка (r = 0), смещение s зададим вдоль оси x и будем считать, что возбуждаются поперечные моды с индексами от m = 1 до m = N⊥.
Пусть N⊥нечетно и коэффициенты hm,n - одинаковы, тогда для пространственной поперечной корреляционной функции получим
При большом числе поперечных мод N >> 1, модуль степени пространственной когерентности равен
33.Представление поля в дальней зоне через интеграл Фурье
В когерентной оптике преобразование Фурье имеет реальную физическую интерпретацию. Оно описывает дифракцию Фраунгофера при прохождении когерентного пучка через оптическую систему с достаточно малой угловой апертурой. Действительно, любая дифракционная оптическая система с помощью когерентных волн кроме изображения объекта, определяемого законами геометрической оптики ставит ему в соответствие двумерный Фурье- образ на плоскости, определяемый законами дифракции.
Рис. 2.1. Условия наблюдения дифракции Фраунгофера: а. Дальняя зона b. Фокальная плоскость с. Сходящаяся волна
Дифракция Фраунгофера наблюдается, если выполняется условие дальней зоны: H>>D2/λ; в фокальной плоскости оптической системы; в плоскости схождения волны (рис. 2.1).Одно из основных преимуществ использования дифракции Фраунгофера - инвариантность к положению объекта дифракции относительно плоскости регистрации. В данном случае это означает, что независимо от положения объекта в пучке лазера вид дифракционного распределения интенсивности в плоскости регистрации не изменяется.