metodichka

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО0ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИКА 1

Учебно методическое пособие для студентов бакалавриата,

обучающихся на первом курсе по направлениям 080100.62 «Экономика», 080200.62 «Менеджмент», 080500.62 «Бизнес информатика»

Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера

Факультет менеджмента и маркетинга Кафедра высшей математики

Москва 2011

ББК 22.3

Предисловие, методические указания и рекомендации по изучению дисциплины подготовил профессор Н.Ш. Кремер

Варианты контрольных работ разработали:

доцент А.Ю. Шевелев (г. Москва), доцент Л.Р. Борисова (г. Москва), профессор И.М. Тришин (г. Москва), доцент М.Н. Фридман (г. Москва), старший преподаватель Г.Н. Саблина (филиал в г. Архангельске), доцент Е.М. Исаенко (филиал в г. Владимире),

доцент А.В. Качалкина (филиал в г. Волгограде), доцент Н.Л. Рубцова (филиал в г. Волгограде), профессор В.С. Поленов (филиал в г. Воронеже), доцент И.А. Зенкина (филиал в г. Калуге), доцент Г.Б. Заболотских (филиал в г. Кирове), профессор В.Г. Курбатов (филиал в г. Липецке), доцент Л.Д. Казмина (филиал в г. Новороссийске)

Учебно методическое пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики Зав. кафедрой профессор Н.Ш. Кремер

Учебно методическое издание одобрено на заседании Научно методического совета ВЗФЭИ

Проректор, председатель НМС, профессор Д.М. Дайитбегов

Математический анализ. Математика 1. Учебно методическое пособие для студентов бакалавриата, обучающихся на первом курсе по направлениям 080100.62 «Экономика», 080200.62 «Менеджмент», 080500.62 «Бизнес информатика» / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ, 2011.

В учебно методическом пособии приведен обзор основных понятий и положе ний дисциплин «Математический анализ», «Математика 1», даны методические ре комендации по их изучению, выделены типовые задачи, представлены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для самоподготовки, приведены варианты конт рольных работ для студентов бакалавриата, обучающихся на первом курсе по на правлениям 080100.62 «Экономика», 080200.62 «Менеджмент», 080500.62 «Бизнес информатика», а также методические указания по их выполнению.

ББК 22.3

© Всероссийский заочный финансово экономический институт (ВЗФЭИ), 2011

3

Предисловие

Совершенствование деятельности в любой области экономики (управлении, финансово кредитной сфере, маркетинге, учете, ауди те) в значительной мере связано с применением математических методов исследования.

Цель курса математики в системе подготовки экономиста – освоение необходимого математического аппарата, помогающего анализировать, моделировать и решать прикладные экономичес кие задачи, при необходимости с применением ПК. Изучаемые

вматематике методы и модели являются не только инструментом количественного расчета, средством решения прикладных задач, но и эффективным методом проведения экономических исследований, элементом общей культуры.

Задачи изучения математики как фундаментальной дисципли ны состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, выработке умения моделировать реальные экономические процес сы, освоении приемов исследования и решения математически фор мализованных задач, овладении основными методами математики.

Всоответствии с федеральными государственными образова тельными стандартами высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) и учебными планами института студенты бакалав риата, обучающиеся по направлению 080100.62 «Экономика»,

врамках базового курса математики изучают три самостоятельные математические дисциплины: «Математический анализ» (I курс),

4

«Линейная алгебра» (I курс), «Теория вероятностей и математи ческая статистика» (II курс). Студенты бакалавриата, обучающие ся по направлению 080200.62 «Менеджмент», изучают те же дис циплины в рамках комплексной математической дисциплины «Математика» (соответственно «Математика 1» (I курс) и «Мате матика 2» (II курс)). Студенты бакалавриата, обучающиеся по на правлению 080500.62 «Бизнес информатика», кроме названных выше трех дисциплин изучают также две дополнительные матема тические дисциплины – «Дифференциальные и разностные уравне ния» (II курс) и «Дискретная математика» (II курс).

В зависимости от направления подготовки студенты бакалав риата изучают прикладные математические дисциплины «Методы оптимальных решений» (III курс), «Исследование операций» (III курс) и др.

По дисциплине «Математический анализ» студенты бакалав риата направления 080100.62 «Экономика» выполняют одну конт рольную работу (№ 2(э)) и сдают курсовой экзамен; студенты на правления 080500.62 «Бизнес информатика» – две контрольные работы (№ 2.1(б) и №2.2(б)) и также сдают экзамен. По дисципли не «Математика 1» студенты бакалавриата направления 080200.62 «Менеджмент» выполняют одну контрольную работу (№ 2(м)) и сдают экзаменационный зачет.

Варианты контрольных работ № 2(э), № 2(м), № 2.1(б) и № 2.2(б) приводятся в данном учебно методическом пособии.

5

Введение

Цель настоящего учебно методического пособия – помочь студен там в организации занятий при изучении общего курса математики.

Как отмечено выше, студенты бакалавриата изучают дисципли ну «Математический анализ» («Математика 1») на первом курсе. Контрольные работы выполняются по вариантам из данной бро шюры с последующим собеседованием по каждой контрольной ра боте. При этом в соответствии с учебными графиками контрольные работы могут предусматривать частичное использование компью терной обучающей программы (КОПР1) (подробнее об этом см. методическое пособие [Электронные ресурсы, 4]). Кроме того, учеб ными графиками по данной дисциплине может предусматриваться компьютерное тестирование (подробнее об этом см. методическое пособие [Электронные ресурсы, 3]). Изучение дисциплины завер шается курсовым экзаменом (экзаменационным зачетом).

Для освоения данной дисциплины в вузе читаются лекции и проводятся практические занятия. В то же время основной фор мой обучения в условиях заочного вуза является самостоятельная работа студентов с учебником и учебными пособиями. Дополни тельно для самостоятельного изучения дисциплин рекомендуются компьютерная обучающая программа КОПР1, обзорная лекция и электронная учебно методическая литература (электронные ресур сы), размещенные на сайте института.

В помощь студентам в институте и его филиалах функциониру ют учебно методические кабинеты, которые позволяют ознакомить

6

ся с образцами контрольных работ и авторскими текстами лекций, осуществить выход в Интернет, поработать с электронными ресур сами, компьютерными обучающими программами и электронными версиями учебно методической литературы, ознакомиться с авторс кими текстами лекций, пройти тестирование в режиме самоконтроля.

Каждый студент с самого начала занятий должен выработать для себя рациональную систему работы по изучению дисциплины и постоянно практиковаться в решении задач. В противном случае усвоение учебного материала затруднено. Чрезвычайно важны сис тематические занятия. Следует помнить, что работа урывками не приносит положительных результатов.

Студент обязан вести конспект (рабочую тетрадь). Рекоменду ется конспектировать определения, формулировки теорем, схемы их доказательств, формулы и решения задач. Формулы следует выпи сывать в специальные таблицы для каждой части (раздела) дис циплины. Постоянное пользование конспектом, в частности табли цами формул, способствует их запоминанию и дает возможность ре шать примеры и задачи, не обращаясь к учебным пособиям.

Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что теорию они знают, а решать задачи не умеют. Это свидетельствует о неглубоком усвоении учебного материала. Нужно решать как можно больше задач. Начинать следует с наиболее простых, эле ментарных, а затем переходить к более сложным. По такому прин ципу и расположены задачи в рекомендуемых учебных пособиях. Решение следует доводить до окончательного результата, а проме жуточные преобразования – выполнять последовательно и акку ратно. Если задача связана с отысканием численного результата, то подстановку числовых значений вместо буквенных обозначений лучше производить только в окончательно упрощенное выражение.

Если материал учебника, учебного или методического пособия, КОПР не дает ответа на возникший вопрос, то следует обратиться за письменной (по электронной почте, факсу или на форум кафед ры) или устной консультацией на кафедру высшей математики. Для получения письменной консультации необходимо указать, ка ким учебником (пособием, КОПР) вы пользовались (автор, наиме нование, год издания) и какое конкретное место в учебнике не по нятно. Если появились затруднения в решении задачи, укажите,

7

каким способом вы пытались ее решить. Лишь в этом случае препо даватель сможет оказать вам помощь.

При решении различных задач нередко приходится вычислять приближенно значения функции, определенного интеграла и др. Незнание правил приближенных вычислений часто приводит к тому, что их результаты оказываются не только неточными, но и ошибочными, настолько они далеки от истинных (точных) значе ний. При этом многие стремятся удержать как можно больше цифр в окончательном ответе и таким образом показать, какой «высокой» степени точности они добились. Точность такого ответа, как прави ло, оказывается ложной, так как определенное число последних цифр просто ошибочно. Чтобы этого не случилось, необходимо знать и применять правила приближенных вычислений. Ими над лежит пользоваться при выполнении арифметических операций с приближенными числами и для получения приближенного ре зультата.

8

Основные правила приближенных вычислений

Обозначим через х точное (истинное) значение некоторой вели чины (точное число), а через а – ее приближенное значение (при ближенное число).

Число = | х – а | называется истинной абсолютной погрешнос тью приближенного числа а.

Обычно истинная абсолютная погрешность числа a неизвест на, так как не дано точное значение х, а известна так называемая предельная абсолютная погрешность. Число α называется предель ной абсолютной погрешностью приближенного числа а, если

| x – a | ≤ α.

Относительной погрешностью δ приближенного числа а назы вается отношение его абсолютной погрешности к абсолютной вели чине точного числа x:

. x

Если точное значение числа х неизвестно, а мало´ по сравне нию с | а |, то можно считать, что

. a

Относительную погрешность часто выражают в процентах, то есть

100 (%). a

Цифра данного разряда приближенного числа а называется верной, если абсолютная погрешность = | х – а | этого числа не пре восходит пяти единиц следующего справа разряда. В противном случае эта цифра называется неверной.

У всякого десятичного числа а ≠ 0 существует первая слева цифра, отличная от нуля. Эта цифра называется первой значащей цифрой числа а. Все цифры, начиная с первой значащей и правее, являются значащими цифрами числа а. Говорят, что приближенное число а имеет п верных значащих цифр, если п я и предшествую щие ей значащие цифры верные, а (n + 1) я цифра — неверная.

В вычислительной практике также употребляют термин «число верных десятичных знаков». Под ним понимают число верных цифр

9

в десятичной дроби после нулей, указывающих разряды. Цифры приближенного числа, не являющиеся верными, отбрасывают, а число при этом округляют.

Правило округления. Если первая из отбрасываемых цифр, считая слева направо, меньше пяти, то последнюю оставшуюся цифру не меняют; если больше или равна пяти, то последнюю ос тавшуюся цифру надо увеличить на единицу.

Если отбрасывается только цифра «5», а предшествующая ей цифра четная, то последнюю оставшуюся цифру менять не следует. Если предшествующая цифра нечетная, то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на единицу (правило четных знаков).

 Пример. ð = 3,1415926... Округляя число до трех значащих цифр, получим ð ≈ 3,14 (так как 1 < 5). Округляя его до четырех значащих цифр, получим ð ≈ 3,142 (5 ≥ 5), а округляя его до пяти значащих цифр, получим ð≈ 3,1416 (так как 9 ≥ 5). В то же время число x = 0,6525 ≈ 0,652 (по правилу четных знаков, так как отбрасывается только цифра «5»). 

Окончательные результаты вычислений обычно округляют на последней верной цифре, а в промежуточных результатах удержи вают одну запасную цифру, которая может оказаться и неверной.

При этом пользуются следующими правилами определения верных цифр результата.

1.При сложении (вычитании) приближенных чисел в сумме следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков.

2.При умножении приближенных чисел в произведении следует оставить столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель

снаименьшим числом верных значащих цифр.

3.При возведении в степень и извлечении корня число верных значащих цифр результата равно числу верных значащих цифр ос нования степени.

4.Правило запасной цифры. Для того чтобы после небольшого количества алгебраических действий над приближенными числами получить результат с п верными цифрами, достаточно исходные данные взять с (п + 1) верными цифрами и во всех промежуточных результатах сохранить (п + 1) верных цифр, а окончательное зна чение округлить до п цифр.

10

 Пример. Дано: ð ≈ 3,14159; lg e ≈ 0,434 (все цифры верные).

Вычислить приближенно: а) ð+ lg e; б) ð· lg e.

Р е ш е н и е. Число ðсодержит пять верных десятичных знаков, lg e – три, следовательно, сумма должна содержать три верных де сятичных знака. Округляя (с запасной цифрой) число ð до четырех десятичных знаков, получим:

ð+ lg e ≈ 3,1416 + 0,434 = 3,5756 ≈ 3,576.

Число ð содержит шесть верных значащих цифр, lg e – три (нуль не считается), следовательно, произведение должно содер жать три верных значащих цифры. Округляя (с запасной цифрой) число ð до четырех значащих цифр, получим:

ð • lg e = 3,142 • 0,434 = 1,363628 ≈ 1,36. 

Вычислительную работу по возможности следует упрощать. Для этого рекомендуется пользоваться электронными калькулято рами, пакетом Excel и т.п. Всякая вычислительная работа должна контролироваться. Простейшим методом контроля является вы полнение решения заново (лучше спустя некоторое время) и срав нение полученных результатов.

Основные правила приближенных вычислений будут нужны

ив дальнейшем – при выполнении контрольных (лабораторных, курсовых, выпускных) работ по теории вероятностей и математи ческой статистике и другим математическим, профессиональным

испециальным дисциплинам.

Содержание дисциплины и методические

рекомендации по ее изучению

Ниже по каждой теме приводится учебно программный матери ал, который должен изучить студент, со ссылками на рекомендован ные (в качестве основной литературы) учебники и учебные пособия.

Контрольные вопросы по каждой теме представлены в разделе «Вопросы для самопроверки».

Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и для само стоятельной работы приводятся в разделе «Задачи для самоподго товки».