metodichka

11

Вопросы, касающиеся организации компьютерного тестирова ния, основные типы и примеры тестовых заданий по данной дис циплине рассматриваются в учебно методическом издании «Мате матический анализ и линейная алгебра. Методические указания по компьютерному тестированию» [Электронные ресурсы, 3].

Вопросы, касающиеся выполнения контрольных работ с частич ным использованием КОПР, рассматриваются в учебно методичес ком издании «Математика. Методические указания по проведению

ивыполнению контрольных работ с частичным использованием КОПР» [Электронные ресурсы, 4].

Примечание. Учитывая, что в соответствии с учебными плана ми подготовки бакалавров по направлениям 080100.62 «Экономи ка», 080200.62 «Менеджмент» и 080500.62 «Бизнес информатика» предусматриваются разные число математических дисциплин

иколичество учебных часов на их изучение, в данном методическом пособии используются следующие обозначения:

* – материал не обязателен (но рекомендуется для самостоя тельного изучения) для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 080200.62 «Менеджмент»;

**– материал переносится в дисциплину «Линейная алгебра» (для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям 080100.62 «Экономика» и 080500.62 «Бизнес информатика»);

***– материал: обязателен для студентов бакалавриата, обуча ющихся по направлению 080100.62 «Экономика»; не обязателен (но рекомендуется) для студентов, обучающихся по направлению 080200.62 «Менеджмент»; переносится в дисциплину «Дифферен циальные и разностные уравнения» для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 080500.62 «Бизнес информатика».

Раздел I. Элементы линейной алгебры**

Тема 1. Матрицы и определители**

Определение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Алгебраические операции над матрицами. Определители второго, третьего и п го порядков. Свойства определителей. Алгебраическое дополнение элемента матрицы п го порядка. Теорема Лапласа. При соединенная и обратная матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы как наивысший порядок ее миноров, отлич

12

ных от нуля*. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований*. Линейная комбинация, линейная зависимость и неза висимость строк (столбцов) матрицы*. Теорема о ранге матрицы – максимальном числе ее линейно независимых строк (столбцов)*1

[1, § 1.1–1.6], [2, § 1.1–1.4] или [3, § 1.1–1.11].

Надо хорошо уяснить, что матрица – это прямоугольная табли ца, составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столб цах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц и алгебраи ческие операции над ними (умножение матрицы на число, сложе ние, вычитание и умножение матриц).

Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное пра вило умножения и связанное с ним условие существования произве дения АВ матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения матриц состоит в том, что произведение матриц в общем случае некоммутативно, то есть АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные, то это свойство очевидно, так как либо одно из про изведений АВ или ВА не существует, либо АВ и ВА – матрицы раз ных размеров. Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем слу чае АВ ≠ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере.

Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой мат рицы может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чи сел произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю).

1 Здесь и далее в тексте все указанные в скобках номера формул, страниц и задач относятся к учебникам и учебным пособиям [1], [2], [3], приведенным в разделе «Литература» (с. 76) в качестве основной литературы.

13

Следует уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то опре делитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимо уметь по этим правилам вычислять определители второго и третье го порядков.

При изучении свойств определителей особое внимание следует обратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1, § 1.3] или [3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свойствами при вычислении определителей четвертого и более вы соких порядков.

Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять. Следует помнить, что для существования мат рицы А–1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы мат рица А была невырожденной (неособенной). Проверить правиль ность вычисления обратной матрицы можно, составив произведе ние АА–1 или А–1А. Если оно является единичной матрицей Е, то в со ответствии с определением матрица А–1 вычислена правильно.

Тема 2. Системы линейных уравнений**

Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матрица системы. Матричная форма записи системы. Совместные (определенные и неопределенные) и несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы n линейных уравнений с n перемен ными (без доказательства). Решение системы: а) по формулам Кра мера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса. Понятие о методе Жордана–Гаусса* [1, § 2.1–2.3, 2.6], [2, § 2.1, 2.3] или [3, § 2.1–2.3, 2.7, 2.8].

При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы n линейных уравнений с n пере менными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы, и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопреде ленными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о раз решимости системы n линейных уравнений с n переменными уста навливается с помощью теоремы Крамера ([1, § 2.2] или [3, § 2.2]). Решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

14

Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по срав нению с другими способами решения ряд достоинств: он менее тру доемок, позволяет однозначно установить, является ли данная сис тема определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности системы – определить число ее линейно независимых уравнений и исключить «лишние».

Метод Жордана–Гаусса позволяет быстрее, чем классический метод Гаусса, решить систему линейных уравнений.

Раздел II. Введение в анализ

Тема 3. Функции

Понятие о множествах. Действительные числа и числовые мно жества. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их задания. Область определения функции. Четные, нечетные, моно тонные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие эле ментарной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные функции. Уравнение линии на плоскости**. Уравнение пря мой с угловым коэффициентом**. Общее уравнение прямой**. Урав нение прямой, проходящей через данную точку в заданном направле нии, через две данные точки**. Условия параллельности и перпендику лярности двух прямых**. Точка пересечения двух прямых**

[1, § 5.1–5.5, 5.7, 4.1–4.3, 4.6], [2, гл. 5, § 4.1] или [3, § 5.1–5.5, 5.7, 4.2–4.4, 4.9].

Прежде всего, полезно ознакомиться с некоторыми логическими символами и кванторами, чтобы использовать их в дальнейшем для сокращения записей ([1, § 5.1, 6.1] или [3, § 5.1, 6.1]).

Изучение темы следует начать с основных понятий теории мно жеств ([1, § 5.1] или [3, § 5.1]). Далее нужно четко усвоить важней шее понятие математического анализа – понятие функции, а также уметь находить область ее определения и знать способы задания функции (аналитический, графический, табличный, словесный).

В нашем курсе рассматриваются в основном элементарные функции. Студент должен уяснить определение элементарной функ ции ([1, § 5.5] или [3, § 5.5]), знать свойства и строить графики сле дующих основных элементарных функций: y = C (постоянная),

15

y = xn (степенная), y = ax (показательная), y = loga x (логарифмичес кая). Необходимо усвоить понятие сложной функции (функции от функции).

Построение графика четной (нечетной) функции можно значи тельно упростить, если учесть, что графики четных функций сим метричны относительно оси Оy, а нечетных – относительно начала координат. Одним из характерных свойств функции является моно тонность, то есть ее возрастание или убывание на каком либо про межутке.

Тема завершается рассмотрением линейной функции и элемен тов аналитической геометрии на плоскости – простейших уравне ний прямой. Этот материал будет использоваться на третьем курсе при изучении дисциплин «Методы оптимальных решений» и «Ис следование операций».

Основополагающее значение здесь имеет определение уравне ния линии на плоскости как уравнения с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней. Из этого определения следуют два важных для практики положения.

1.Если задано уравнение линии, то можно установить, принад лежит ли ей какая либо точка плоскости. Для этого достаточно под ставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x

иy. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2.Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для на хождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Студент должен знать простейшие виды уравнений прямой и уметь пользоваться ими при решении задач. Соответствующий учебный материал приведен в учебнике ([1, § 4.2] или [3, § 4.2]).

Обратите особое внимание на нахождение уравнений прямых, параллельной и перпендикулярной данной прямой ([1, пример 4.5] или [3, пример 4.5]).

Тема 4. Пределы и непрерывность

Предел числовой последовательности. Предел функции в беско нечности и в точке. Бесконечно малые величины и их свойства. Беско

16

нечно большие величины. Основные теоремы о пределах: теорема единственности, предел суммы, произведения, частного. Признаки существования предела. Второй замечательный предел. Число e. По нятие о натуральных логарифмах. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Рас

ление пределов [1, § 6.1–6.8], [2, § 6.1–6.3, 6.5] или [3, § 6.1–6.10].

Наряду с понятием функции, понятия предела и непрерывности являются основными в разделе «Введение в анализ».

Понятие предела в учебнике [1] или [3] рассматривается для

числовой последовательности nlim an и для функции: в бесконеч

понятий необходимо использовать их геометрическую интерпрета цию. Весьма важными являются понятия бесконечно малых и бес конечно больших величин ([1, § 6.3, 6.4] или [3, § 6.3, 6.4]), суть кото рых сводится к тому, что при своем изменении бесконечно малая (по абсолютной величине) будет меньше любого как угодно малого чис ла å> 0, а бесконечно большая – больше любого как угодно большо го числа М > 0.

Нужно знать взаимосвязь бесконечно малых и бесконечно боль ших величин, свойства бесконечно малых величин, с помощью кото рых доказываются теоремы о пределах. Следует обратить внима ние на признаки существования пределов, особенно на теорему 1 ([1, § 6.5] или [3, § 6.5]), часто позволяющую установить наличие предела значительно проще, чем при использовании его определения.

Необходимо (без вывода) знать второй замечательный предел в двух формах записи:

17

Понятие непрерывности функции (в точке, на промежутке) яв ляется более простым, чем предел, так как оно выражается непре рывностью графика при прохождении данной точки, данного про межутка (без отрыва карандаша от листа бумаги). Наряду с интуи тивным представлением, надо знать определение непрерывности функции в точке и на промежутке, свойства непрерывных функций, а также то, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения и может иметь разрыв лишь на грани цах области определения.

Раздел III. Дифференциальное исчисление

Тема 5. Производная

Задачи (о касательной к плоской кривой и о мгновенной скорос ти), приводящие к понятию производной. Производная, ее геометри ческий, механический и экономический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой. Дифференцируемость функции. Связь между диф ференцируемостью и непрерывностью функции (необходимый при знак дифференцируемости). Основные правила и основные формулы дифференцирования. Формулы производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Техника дифференцирова ния. Производные высших порядков [1, § 7.1–7.7], [2, § 7.1–7.3] или [3, § 7.1–7.7, 7.11, 7.12].

Студенты должны знать две классические задачи, которые при водят к понятию производной: задачу о касательной к плоской кри вой и задачу о скорости неравномерного прямолинейного движе ния. Их решение выявляет геометрический и механический смысл производной. Нужно знать определение производной, представ лять ее экономический смысл ([1, § 7.6] или [3, § 7.10]), уметь со ставлять уравнение касательной к графику любой функции y = f (x) в заданной точке.

Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходи мым условием дифференцируемости функции. Необходимо четко уяснить, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке. Обратная теорема не спра ведлива, так как существуют непрерывные функции, которые

18

внекоторых точках могут не иметь производной ([1, § 7.2] или [3, § 7.2]).

Нужно, хорошо усвоив основные правила дифференцирования, уметь находить производную суммы и произведения нескольких дифференцируемых функций, производную частного двух функ ций, пользоваться основными формулами дифференцирования, а также уметь их выводить. Таблица основных формул приведена

вучебнике ([1, § 7.5] или [3, § 7.5]) и на переднем форзаце. Наиболее важным для овладения техникой дифференцирования функций, и к тому же наиболее трудным, является правило дифференцирова ния сложной функции ([1, § 7.4] или [3, § 7.4]). Знание этого прави ла способствует успешному освоению техники дифференцирования функций. Поэтому необходимо обратить особое внимание на при меры с решениями, в которых иллюстрируется его применение. Нужно усвоить понятия производных высших порядков и уметь их находить.

Тема 6. Приложения производной

Теорема Ролля* и Лагранжа. Правило Лопиталя (без вывода). Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные признаки экстремума (второй доста точный признак – без доказательства). Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, их нахождение, решение задач. Иссле дование функции (область определения, четность и нечетность, ин тервалы монотонности и точки экстремума, поведение функции при x и в точках разрыва, вертикальные, горизонтальные и на клонные асимптоты, точки пересечения графика с осями координат) и построение ее графика. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c и ее график. Дробно линейная функция y = (ax + b)/(cx + d) и ее график

[1, § 8.1–8.5, 8.7–8.9], [2, § 8.1–8.3, 8.5] или [3, § 8.1–8.5, 8.7, 8.8, 8.10– 8.12, 8.14].

Одно из простейших приложений производной – раскрытие неопределенностей вида [0/0] или / с помощью правила Лопи

таля ([1, § 8.2] или [3, § 8.2]). Обратите внимание на то, что соглас но формуле (8.3) предел отношения двух бесконечно малых или

19

двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, а не пределу производной частного этих функций.

Теоремы дифференциального исчисления являются обоснова нием такой важной области приложения производных, как исследо вание функций. Студенты должны знать формулировки этих тео рем, четко различая в них условие и заключение.

В учебнике приведена схема исследования функции для нахож дения ее характерных точек и особенностей, по которым можно по строить ее график ([1, § 8.8] или [3, § 8.8]). Выполнение пункта 60 этой схемы, связанного с нахождением интервалов выпуклости функ ции и точек перегиба, не обязательно.

Тема 7. Дифференциал функции

Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл диффе ренциала. Свойства дифференциала. Инвариантность формы диффе ренциала первого порядка [1, § 9.1, 9.2], [2, гл. 9] или [3, § 7.7–7.9, 7.13].

Дифференциал функции y = f (x) – главная линейная (относи тельно приращения x аргумента) часть приращения функции – равен произведению производной на дифференциал независимой переменной, то есть dy = f´(x) dx. Геометрический смысл дифферен циала рассмотрен в ([1, § 9.1] или [3, § 7.7]).

Операция нахождения дифференциала сводится к нахождению производной и также называется дифференцированием функции.

Важное свойство дифференциала первого порядка – инвариант ность его формы (или формулы). Это означает, что дифференциал функции y = f (u) есть dy = f´(u) du и не зависит от того, является ли u независимой переменной или функцией. Свойство инвариант ности формы дифференциала используется далее в интегральном исчислении.

Раздел IV. Функции нескольких переменных

Тема 8. Функции нескольких переменных

Функции двух и нескольких переменных. Частные производные и техника дифференцирования. Экстремум функции двух перемен

20

ных и его необходимое условие. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Построение методом наименьших квадратов линейной функции по эмпирическим данным (вывод систе мы нормальных уравнений) [1, § 15.1, 15.3, 15.6, 15.9], [2, § 15.1–15.4] или [3, § 9.1, 9.3, 9.7, 9.10, 9.12–9.15].

Фактически мы ограничиваемся рассмотрением функции двух переменных. Для успешного усвоения этого раздела рекомендуется использовать метод аналогии с функциями одной переменной, хотя с увеличением числа переменных возникают существенные каче ственные отличия. Область определения функции двух переменных изображается множеством точек плоскости, а график – некоторой поверхностью в трехмерном пространстве ([1, пример 15.2] или [3, пример 9.2]).

В определении частной производной функции по одной из пере менных используется понятие частного приращения, а в остальном оно сходно с определением производной функции одной перемен ной. Обратите внимание на способы обозначения частных произ водных. Техника дифференцирования функции двух (нескольких) переменных основывается на тех же правилах и приемах, которые применялись при нахождении производных функций одной пере менной.

Для экстремума функции двух переменных формулируется определение и необходимое условие его существования ([1, § 15.6] или [3, § 9.7]), которые не являются достаточными.

Построение эмпирических формул методом наименьших квад ратов имеет большое прикладное значение, в том числе в статисти ческих и экономических исследованиях. Так как эмпирическая фор мула включает неизвестные параметры, то критерий, согласно ко торому она получается, является функцией этих параметров (функ цией нескольких переменных). Параметры подбираются таким об разом, чтобы критерий принял оптимальное (минимальное) значе ние. Возникает задача нахождения экстремума функции нескольких переменных – этим и объясняется рассмотрение в данном разделе метода наименьших квадратов.

Полученная методом наименьших квадратов эмпирическая формула является приближением таблично заданной функции.