metodichka

21

Следует отметить, что погрешность построенного приближения

а n – число табличных значений (xi, yi). Используя полученное при ближение, можно найти значения функций в точках, которые отли чаются от табличных и лежат внутри отрезка (x1, xn) (интерполя ция) или вне его (экстраполяция).

Раздел V. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Тема 9. Неопределенный интеграл

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством). Таблица основных интегралов. Интегрирование методом разложения, замены перемен ной и по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах [1, § 10.1– 10.5, 10.8], [2, § 10.1–10.3, 10.5] или [3, § 10.1–10.6, 10.9–10.11].

Следует обратить внимание на то, что интегрирование вводит ся как операция, обратная дифференцированию, но в отличие от последнего приводит к неоднозначному результату: для любой непрерывной функции f(x) имеется бесконечное множество перво образных. Они отличаются друг от друга лишь на постоянное сла гаемое.

Доказательства основных свойств неопределенного интеграла получены исходя из определения первообразной. Правильность ин тегрирования можно проверить дифференцированием; этот прием следует использовать для проверки решения соответствующих при меров в контрольной работе.

Под непосредственным интегрированием понимают нахожде ние неопределенного интеграла путем преобразования его к таб личному с помощью основных правил интегрирования и тождест венных преобразований подынтегральной функции.

Обратите внимание на свойство, связанное с линейным преоб разованием аргумента ([1, формула (10.17)] или [3, формула

22

(10.19)]), так как это простейшее из свойств, которое часто применя ется при непосредственном интегрировании. Используя его, можно свести к табличным ряд интегралов.

Метод подстановки, или метод замены переменной, – один из основных приемов интегрирования функций. Следует обратить внимание на то, что можно использовать подстановки двух видов:

а) переменная интегрирования x заменяется функцией перемен ной t:

xt , а dx t dt;

f x dx f t t dt;

б) новая переменная t вводится как функция переменной интег рирования x: t x , dt x dx;

f x x dx f t dt.

Последнюю подстановку удобно применять, если подынтег ральное выражение содержит дифференциал (производную) функ ции ö(х) с точностью до постоянного множителя.

Если интеграл, полученный после замены переменной, стал «проще» данного (преобразован в табличный или приводящийся к табличному), то цель подстановки достигнута.

После интегрирования функции по переменной t необходимо вернуться к прежней переменной x, выразив t через x по формуле, применявшейся при подстановке.

Примеры различных подстановок даны в [1, § 10.3, 10.6] или [3, § 10.3, 10.6].

Практическое применение формулы интегрирования по частям ([1, § 10.4] или [3, § 10.4]), если оно целесообразно, связано с пробле мой правильного разбиения подынтегрального выражения на со множители u и dν. Отметим, что формулу интегрирования по час тям, как правило, удобно применять, если подынтегральная функ ция является произведением многочлена на показательную или ло гарифмическую функцию ([1, примеры 10.10–10.13] или [3, приме ры 10.8, 10.9]).

23

Тема 10. Определенный интеграл

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Опреде ленный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньюто на–Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление опре деленного интеграла методом замены переменной и по частям. Поня тие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегри рования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычис ление определенного интеграла по формуле трапеций [1, § 11.1–11.8, 11.10], [2, § 11.1–11.4] или [3, § 11.1–11.8, 11.11–11.14].

Рассматривая задачу о нахождении площади криволинейной трапеции, нужно четко представлять, что сначала выводится фор мула площади этой фигуры, а затем проводится ее вычисление.

Студент должен знать определение определенного интеграла как предела интегральной суммы и то, что благодаря формуле Ньютона–Лейбница ([1, формула (11.15)] или [3, форму ла (11.15)]) – основной формуле интегрального исчисления – уда ется свести вычисление этого интеграла к нахождению приращения любой первообразной для данной функции на отрезке интегриро вания. Следует обратить внимание на достаточное условие интег рируемости функции на данном отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Используя метод подстановки при вычислении определенного интеграла, нужно изменять пределы интегрирования после введе ния новой переменной и вычислять интеграл, не возвращаясь к ста рой переменной ([1, примеры 11.3, 11.18] или [3, примеры 11.3, 11.23]).

Применяя формулу интегрирования по частям, можно нахо дить частное приращение первообразной uν в процессе решения, не откладывая это действие до полного отыскания первообразной ([1, пример 11.4] или [3, пример 11.4]).

Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами появляется как обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда один или оба предела интегрирования не ограничены, то есть когда подынтегральная функция определена и непрерывна

на одном из промежутков: a; , ; b или ; . Если при

24

этом первообразная известна (является элементарной функцией), то сходимость несобственного интеграла устанавливается по опре делению. Если первообразная неизвестна (неопределенный интег рал не «берется» в элементарных функциях), то сходимость уста навливается косвенным путем с помощью признаков сходимости. Последнее выходит за рамки программы.

Применяя определенный интеграл для вычисления площадей плоских фигур, мы исходим из того интуитивного представления, что всякая плоская фигура, ограниченная несколькими непрерыв ными кривыми, образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следует помнить, что «простейшей» фигурой, площадь которой вы ражается определенным интегралом, является криволинейная тра пеция. Во всех остальных случаях фигуру нужно представить в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Решение задачи на вычисление площади криволинейной трапеции всегда начинают с построения чертежа и при этом следят за тем, чтобы граница фи гуры содержала все заданные в условии линии и точки. Уяснить сказанное можно, разобрав примеры, в которых вычисляются пло щади различных плоских фигур (см. раздел «Задачи для самоподго товки»).

Формула трапеций и другие формулы для приближенного вы числения определенных интегралов используются, когда соответ ствующая первообразная не является элементарной функцией («неберущийся» неопределенный интеграл) или когда интеграл представляет собой трансцендентную функцию (для составления таблиц значений таких функций).

Тема 11. Дифференциальные уравнения***

Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное ре шения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса. Дифференциальные уравнения первого порядка (неполные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные) [1, §12.1, 12.2, 12.4–12.6], [2, § 12.1–12.4] или [3, § 12.1, 12.2, 12.4–12.6, 12.11–12.14].

Во многих задачах экономики, физики, экологии встречаются уравнения, связывающие искомую функцию одной или нескольких

25

переменных с производными (или дифференциалами) различных порядков и получившие название дифференциальных уравнений. Одна из таких задач о построении простейшей математической мо дели демографического процесса ([1, пример 12.3] или [3, при мер 12.3]) рассматривается в данной теме.

Обратите внимание на то, что задача Коши – задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка

y f x, y , удовлетворяющего начальному условию y x0 y0, всег

да имеет решение, и притом единственное. Геометрически это озна чает существование единственной интегральной кривой дифферен циального уравнения, проходящей через каждую точку открытого

множества, в которой функция f x, y определена.

Студент должен знать основные понятия и уметь решать диф ференциальные уравнения первого порядка различных типов – неполные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные.

Раздел VI. Ряды*

Тема 12. Числовые ряды*

Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (доказать). Расходимость гармонического ряда. Достаточные признаки сходи мости знакоположительных рядов: признак сравнения, признак Да ламбера. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница сходимости зна кочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость

[1, § 13.1–13.5], [2, § 13.1–13.3] или [3, § 13.1–13.7].

При изучении данной темы студенты знакомятся с новой фор мой изучения числовой последовательности. Следует уяснить, что

не следует отождествлять с обычной (конечной) суммой. Сумма и сходимость ряда определяются через предельный переход. При рас

26

смотрении ряда могут решаться такие задачи, как определение его суммы и исследование сходимости. Решение первой задачи «пере крывает» вторую, но это не всегда возможно или вызывает значи тельные трудности. Решение второй задачи не менее важно, так как в случае, если ряд сходится, его сумма существует и ее можно найти приближенно с любой степенью точности, взяв сумму достаточного числа его первых членов.

Нужно уяснить, что необходимый признак сходимости (для схо дящихся рядов un 0 при n ) не является достаточным, но из необходимого признака сходимости следует, что если предел общего

члена lim un 0 , то ряд расходится. Поэтому исследование сходимос

n

ти числового ряда рекомендуется начинать с вычисления предела его общего члена (если он находится не очень сложно). Если предел окажется равным нулю, то это означает, что ряд может сходиться. Чтобы установить, сходится ли ряд, далее применяют достаточные признаки сходимости.

Применяя признаки сравнения, можно использовать в качестве «эталонных» следующие ряды:

1) геометрический ряд 1aqn 1 – сходится при | q | < 1, расходит

n

ся при | q | ≥ 1;

ирасходится при 1.

Кпризнаку сравнения обращаются тогда, когда признак Далам

бера показывает, что lim un 1 1 . Во всех этих случаях применения

n un

достаточных признаков сходимости речь идет об исследовании ря дов с положительными членами.

Говоря о сходимости знакочередующихся рядов, следует иметь в виду два типа сходимости – абсолютную и условную. Важность

27

этих понятий связана с тем, что абсолютно сходящиеся ряды, в отли чие от условно сходящихся рядов, обладают некоторыми свойства ми конечных сумм. Решать вопрос о сходимости знакочередующего ся ряда рекомендуем в таком порядке.

1.Составить ряд из абсолютных величин членов данного знако чередующегося ряда.

2.Исследовать сходимость полученного ряда. Может оказаться, что этот ряд сходится. Тогда исходный ряд также сходится, и притом абсолютно. Задача решена.

Если же составленный ряд расходится, то в этом случае о сходи мости или расходимости исходного ряда сделать вывод нельзя; необходимо выполнить пункт 3.

3.Исследовать условную сходимость исходного знакочередую щегося ряда, например, по признаку Лейбница.

Вопросы для самопроверки1

1.Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матри цы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц.**

2.Определители второго, третьего и n го порядков (определе ния и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.**

3.Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неосо бенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.**

4.Понятие минора k го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразо ваний. Пример.**

5.Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема

оранге матрицы.**

6.Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид) и матричная форма ее записи. Решение системы (определение). Сов местные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.**

1 См. примечание на с. 11; вопросы 4, 5 для студентов бакалавриата, обучаю щихся по направлению 080200.62 «Менеджмент» со знаком *.

28

7.Решение системы n линейных уравнений с п переменными методом Гаусса. Понятие о методе Жордана–Гаусса.**

8.Решение систем п линейных уравнений с п переменными с по мощью обратной матрицы (вывод формулы Х = А– 1В).**

9.Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).**

10.Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные и монотонные фун кции. Примеры.**

11.Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, логарифмичес кая) и их графики.

12.Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух ли ний. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).**

13.Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.**

14.Предел последовательности при n и предел функции при x . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).

15.Определение предела функции в точке. Основные теоремы

определах (одну из них доказать).

16.Бесконечно малые величины (определение). Свойства беско нечно малых величин (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.

17.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натураль ных логарифмах.

18.Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

19.Производная и ее геометрический смысл. Уравнение каса тельной к плоской кривой в заданной точке.

20.Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (дока зать теорему).

21.Основные правила дифференцирования функций одной пе ременной (одно из правил доказать).

29

22.Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.

23.Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометри ческая интерпретация этих теорем.

24.Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать).

25.Определение экстремума функции одной переменной. Необ ходимый признак экстремума (доказать).

26.Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

27.Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, на клонные и вертикальные асимптоты. Примеры.

28.Общая схема исследования функций и построения их гра фиков. Пример.

29.Функции нескольких переменных. Примеры. Частные про изводные (определение). Экстремум функции нескольких перемен ных и его необходимые условия.

30.Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

31.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инва риантность формы дифференциала первого порядка.

32.Понятие первообразной функции. Неопределенный интег рал и его свойства (одно из свойств доказать).

33.Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности его применения при вычислении определенного интег рала.

34.Метод интегрирования по частям для случаев неопределен ного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

35.Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.

36.Теорема о производной определенного интеграла по пере менному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

37.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интег рирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

38.Вычисление площадей плоских фигур с помощью опреде ленного интеграла. Примеры.

30

39.Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической моде ли демографического процесса.***

40.Простейшие дифференциальные уравнения первого поряд ка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.***

41.Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка и их решения. Примеры.***

42.Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Примеры.*

43.Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Гармо нический ряд и его расходимость.*

44.Признаки сравнения для знакоположительных рядов. При

меры.*

45.Признак Даламбера сходимости знакоположительных ря дов. Пример.*

46.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Пример.*

47.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Пример.*

Задачи для самоподготовки

Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для самостоятельного выполнения по учебнику [1], практикуму [2] или учебнику [3], рассматриваемых в качестве основной литературы.

Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большин ство (часть) задач с решениями (их номера выделены полужирным шрифтом). Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набраны обычным шифром) следует решать выборочно в зависимо сти от лимита времени (например, каждую вторую или каждую третью задачу из списка задач по теме).

Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить по приводимым в практикуме [2] или учебнике [3] тематическим и ито говым контрольным заданиям и тестам, решая задания в соответст вии с учебно программным материалом по каждой теме.