Algebra and geometry

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Математика»

В.В. Коннов, Е.С. Волкова

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»

Для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика»

Москва 2012

1

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Математика»

Утверждено на заседании кафедры от 29.08.2012, протокол № 1

Зав. кафедрой

_______________В.Б. Гисин

В.В. Коннов, Е.С. Волкова

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»

Для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика»

Москва 2012

2

УДК 512:514(072) ББК 22.1

К64

Рецензент: А.А. Рылов – к.ф.-м. наук, доцент кафедры «Математика»

К64 В.В. Коннов, Е.С. Волкова. Материалы для подготовки к экзамену по дисциплине «Алгебра и геометрия» для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика». – М.: Финуниверситет, кафедра «Математика», 2012. - 46 с.

Пособие предназначено для подготовки к экзамену по дисциплине «Алгебра и геометрия» для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика». Материал содержит программу дисциплины, описание структуры и содержания экзамена, систему оценивания, темы домашних контрольных работ, вопросы и задачи для самостоятельной работы и перечень рекомендуемой литературы.

УДК 512:514(072) ББК 22.1

Учебное издание

Коннов Валерий Владимирович Волкова Елена Сергеевна

Материалы для подготовки к экзамену по дисциплине «Алгебра и геометрия»

Заказ № ______

Отпечатано в Финуниверситете

©Валерий Владимирович Коннов, 2012

©Елена Сергеевна Волкова, 2012

©Финуниверситет, 2012

3

СОДЕРЖАНИЕ

Программа дисциплины……………………………………..………………...5 Тематика контрольных работ …..………..…………………………………...8 Структура экзамена…………………………………........................................9 Содержание экзамена………………………………………………………...10

Образцы экзаменационных билетов………………………………………...32

Ответы.………………………………………………………………………..40

Рекомендуемая литература…………………………………………………..46

4

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Векторная алгебра

1.Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Равенство геометрических векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов на плоскости и в пространстве. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Длина вектора и угол между векторами. Направляющие косинусы вектора.

2.Линейные пространства. Аксиомы линейного пространства. Простран-

ство Rn . Геометрическая интерпретация пространств R2 и R3 . Линейная зависимость векторов. Базис и размерность линейного пространства. Однозначность разложения по базису. Преобразование координат вектора при замене базиса. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Пересечение подпространств.

3.Евклидовы пространства. Стандартное скалярное произведение векто-

ров в Rn . Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональный базис. Ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства. Векторное произведение и смешанное произведение векторов в трехмерном пространстве.

Раздел 2. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители

4.Системы линейных алгебраических уравнений. Эквивалентные системы и элементарные преобразования систем. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

5.Матрицы. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Линейные пространства матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы мето-

5

дом элементарных преобразований строк и столбцов. Умножение матриц. Операция транспонирования.

6.Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

7.Квадратные матрицы. Симметрические и кососимметрические матрицы. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение линейных матричных уравнений. Ортогональные матрицы. Общий вид ортогональной матрицы второго порядка.

8.Определители. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Индуктивное определение определителя через формулу Лапласа. Свойства определителей.

9.Применение определителей. Критерий невырожденности квадратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. Вычисление обратной матрицы.

Раздел 3. Комплексные числа

10. Комплексные числа и действия над ними в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры. Следствия из основной теоремы

6

алгебры для алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.

Раздел 4. Линейные преобразования и квадратичные формы

11.Линейные отображения и линейные преобразования векторных пространств. Матричная запись линейных преобразований. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Матрицы ортогональных и самосопряженных преобразований в ортонормированном базисе. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований. Свойства собственных значений и собственных векторов.

12.Квадратичные формы на векторном пространстве. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Раздел 5. Аналитическая геометрия

13.Аффинное пространство и аффинные системы координат. Формулы перехода при замене системы координат. Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между точками. Движения пространства. Общий вид движений плоскости.

14.Прямые на плоскости. Прямые и плоскости в трехмерном пространстве. Взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве. Плоскости различной размерности в многомерном пространстве. Геометрическая интерпретация решений систем линейных уравнений.

15.Выпуклые множества в многомерном пространстве. Полупространства

ивыпуклые многогранные области. Геометрический смысл системы

7

линейных неравенств. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек.

16. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Классификация кривых второго порядка с точностью до движений плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды, конусы и цилиндры второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1:

•системы линейных алгебраических уравнений;

•векторы на плоскости и в пространстве;

•линейные пространства;

•евклидовы пространства;

•матрицы;

•определители;

•векторное и смешанное произведение векторов.

Контрольная работа № 2:

•комплексные числа;

•линейные преобразования;

•квадратичные формы;

•прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве;

•выпуклые многогранные области в аффинном пространстве;

•кривые второго порядка.

8

Расчет 100-балльной оценки за каждую половину семестра основывается на: 1) оценках за контрольные работы, 2) ответах у доски, 3) выполнении домашних заданий.

СОДЕРЖАНИЕ ЭКЗАМЕНА

Перечень контрольных заданий к экзамену

Теоретические вопросы (А)

(определения, свойства и теоремы на уровне формулировок)

1.Определение линейного пространства.

2.Определение подпространства линейного пространства. Критерий подпространства.

3.Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.

4.Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.

5.Определение ортогональной системы векторов.

6.Определение скалярного произведения векторов в R n и его свойства.

7.Векторное и смешанное произведение векторов.

8.Понятия определенной и неопределенной систем уравнений.

9.Определение фундаментального набора решений системы уравнений.

10.Определение ранга матрицы.

11.Понятия вырожденной и невырожденной матриц.

12.Определение ортогональной матрицы.

13.Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.

14.Определение обратной матрицы и ее свойства.

15.Свойства определителей.

10