Algebra and geometry
.pdf58. При каких значениях параметра a в пространстве R4 прямая
d : |
x1 −5 |
= |
x2 |
= |
x3 + 4 |
= |
x4 −1 |
|
ортогональна гиперплоскости |
|
|
−3a −15 |
−3 |
||||||
|
a − 2 6 |
|
|
Г : 2x1 + (a + 2)x2 + x3 + (a +5)x4 + 4 = 0?
59. Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных неравенств:
|
|
10x |
− 4x |
≥18 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6x1 +5x2 ≤107 |
|
|
|
|
|||
|
|
4x |
−9x |
≤ −15; |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
≥ 0, x |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
60. |
Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой |
|||||||||
линейных ограничений: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
8x1 −3x2 − x3 = 4 |
|
|
||||
|
|
|
4x1 + 6x2 + x4 |
= 92 |
|
|
||||
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
4x1 −9x2 + x5 = −28 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
x |
≥ |
0, x |
≥ 0, x ≥ 0, x |
4 |
≥ 0, x |
≥ 0 |
||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
5 |
|
31
ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ
Вариант 1
1. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
x1 + 2x2 +3x3 + x4 = 62x1 + x2 +6x3 + x4 =10−3x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2
2x1 − x2 + x3 + x4 = −2
2. |
GИсследуйте |
|
наG |
линейную зависимость |
|
следующие |
|
векторы: |
||||||||||||||||||||||
|
a1 = (5;0;−1;5) , |
a2 |
= (0;−4;3;3) , a3 = (−1;3;5;4) , a4 = (−6;3;6;−1) . |
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
Найдите смешанное произведение векторов |
|
a =(0;2;0) , bG =(−2;0;3) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
и |
G |
|
|
|
|
|
|
|
. Чему равен объём V параллелепипеда, построенно- |
||||||||||||||||||||
|
c = (−1;−3;−2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
го на векторахG |
G |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
aG, |
b Gи |
c ? Какую тройку (правую или левую) обра- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
зуют векторы a , b и c ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 , |
|
|
|
||||||||||||||
4. |
|
|
|
Используя |
определители, |
найдите |
|
матрицу |
|
|
если |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
−3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Найдите комплексные корни уравнения |
x6 =1. |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
=(−3;1) к базису |
|||||||||
6. Найдите матрицу перехода от базиса f |
|
=(1;2) , f |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
JG |
|
= (2;1) , |
|
G |
|
= (1;−3) . |
Разложите |
|
1 |
|
|
JG2 |
JG |
|
|
по |
базису |
||||||||||||
|
g |
|
|
g |
|
вектор |
x =3 f |
|
+ 4 f |
|
|
|||||||||||||||||||
|
JG1 |
|
JG |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
g1 , |
g2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
||||
7. |
|
При |
каких |
|
значениях параметра a |
|
прямые |
|
l : |
= |
= |
и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
|
|
9a |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
x −25 |
|
y −125 |
|
z −(a −10)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
l2 |
: |
|
|
= |
= |
скрещиваются? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
8a |
|
|
200 |
|
|
8a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Дайте определение и перечислите свойства скалярного произведения векторов из Rn . Докажите неравенство Коши-Буняковского.
32
Вариант 2
1. Найдите значения параметра m , при которых система линейных уравнений
1 |
−2 |
−1 |
−8 x1 |
|
16 |
|
||||
|
1 |
−1 3 |
−5 |
x |
|
|
20 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
2 |
−5 |
−1 |
−18 |
|
|
|
40 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|||||
|
−2 4 m 15 |
x4 |
|
−44 |
|
|
заданная в матричной форме, имеет бесконечное множество решений. |
||||||||
Для найденных значений параметра укажите общее решение системы |
|
|||||||
2.GВычислите |
|
|
|
|
|
|
G |
|
ранг |
системы векторов: a1 = (2;−4;0) , |
a2 = (0;−2;0) |
, |
|||||
a3 =(−2;0;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
3. Вычислите |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
− |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4. Запишите формулы Крамера для линейной системы уравнений с тремя неизвестными. Решите по формулам Крамера систему уравне-
x + y = 6 ний: y + z =6 .
z + x =6
5. |
Найдите |
|
собственные |
значения матриц C5 |
и |
C−1 , если |
|||
|
|
2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
C = |
1 |
5 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Квадратичная форма f |
задана на пространстве R2 |
своей матрицей |
||||||
|
|
1 |
2 |
|
в стандартном базисе. Найдите матрицу |
A' |
квадратичной |
||
|
A = |
2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
формы |
f |
в базисе aG1 =(1;1) , a2 = (−1;2) . |
|
|
|
||||
7. |
При каких значениях параметра a точка C(5 + 2a; |
11 |
;6) |
принадле- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
жит отрезку [ AB], если A(7;3;6) и B(5;2;6) ?
8. Докажите, что множество всех решений однородной системы линейных уравнений образует векторное пространство.
33
Вариант 3
1. Найдите размерность пространства решений и фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:
|
|
|
|
|
|
9 −2 14 3 |
x |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
18 −4 28 6 |
|
x2 |
= |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−27 6 −42 −9 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
2. |
Разложите векторыG |
a1 =(−6;9;9) , a2 =(−4;1;1) по базису, состав- |
|||||||||||||
ленному из векторов c1 |
=(1;1;0) , c2 = (1;−4;−4) , c3 = (−2;3;1) . |
||||||||||||||
3.G |
Найдите |
векторное |
произведение |
|
a ×bG |
, |
|
если aG |
= (−2;1;−2) , |
||||||
b =(−3;−2;3) . Чему равна площадь S параллелограмма, построенно- |
|||||||||||||||
го на векторах aG |
и bG? |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||||
4. |
При |
каких |
значениях параметра |
|
|
столбцы |
матрицы |
||||||||
|
|
1 |
−2 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
линейно зависимы? |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−1 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
−6 |
m |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Решите по формулам Крамера систему линейных уравнений: |
(2 +3i)x −(3 −2i) y = −5 +12i(3 + 2i)x +(2 −3i) y =12 −5i
6. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен-
триситет равен |
65 |
, а расстояние между фокусами равно 2 65 . |
|
9 |
|||
|
|
7. Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой
линейных ограничений: |
9x −6x |
≥9 |
||
|
||||
|
5x1 |
1 |
2 |
|
|
+5x2 ≤105 |
|||
4x |
−11x |
≤ −21 |
||
|
1 |
2 |
|
|
|
x |
≥0, x |
|
≥ 0 |
|
1 |
2 |
|
8. Дайте определение базиса векторного пространства. Докажите однозначность разложения вектора по базису векторного пространства.
34
Вариант 4
1. Найдите размерность пространства решений и фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:
−9 7 |
5 6 x1 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
0 |
5 |
−7 −9 |
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
7 −9 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−27 21 15 18 |
x4 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
−3 |
−8 |
|
1 |
3 |
|
|
|||
2. Из системы строк матрицы A = |
|
|
выделите мак- |
||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
19 |
|
−1 −5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−4 |
−11 |
0 |
2 |
|
|
симальную линейно независимую подсистему и представьте остальные строки в виде линейных комбинаций выделенных.
|
|
−1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
−1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Найдите определитель матрицы |
|
0 |
1 |
2 |
−1 |
0 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
2 |
1 |
−2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
−3 |
−2 |
|
|
|
|
|
4. Найдите матрицу A−1 методом элементарных преобразований, если |
||||
−1 |
2 |
−3 |
|
|
|
3 |
3 |
1 |
|
A = |
. |
|||
|
1 |
1 |
−2 |
|
|
|
5. При |
каких |
значениях |
параметра |
p квадратичная форма |
|||||
32x x |
−16x x |
+ 2 px x |
+8x2 |
+8x2 |
+ 40x2 |
является положительно оп- |
|||
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
ределенной?
6.Найдите точку A', симметричную точке A(3;6) относительно прямой, содержащей точки B(−2;3) и C(6;1) .
7.Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений:
|
|
9x1 −6x2 − x3 =6 |
|
|||
|
|
4x1 + 4x2 + x4 =76 |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
5x1 −10x2 + x5 = −10 |
|
|||
|
|
|
||||
x |
≥ 0, x |
≥ 0, x |
≥ 0, x |
≥ 0, x |
≥ 0 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
8. Докажите теорему о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных уравнений.
35
Вариант 5
G
1.GДополните до ортогонального базиса векторы a1 = (−3;−2;1) ,
aG |
2 = (−2;−1;−8) |
и в полученном базисе найдите координаты вектора |
|||||||||||||
x |
=(−3;0;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Решите матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
−2 |
−3 |
|
0 |
0 |
3 |
|
−1 −1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
= |
−2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
−3 0 |
|
2 |
−3 |
0 |
|
2 0 |
|
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При |
|
каких |
значениях |
|
|
параметра |
|
λ |
матрица |
||||||
|
|
5 |
5 |
|
10 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
9 −λ |
2 |
10 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
является невырожденной? |
|
||||||||||
|
|
|
15 |
|
20 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 |
15 |
|
5 9 −λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
4. В пространстве R3 действует линейное преобразование f по правилу: f (a;b;c) =(c;a +3b +c;a) . Найдите его собственные значения и
собственные векторы.
5. Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную
форму f (x1, x2 , x3 ) = 48x2 x3 −10x1x3 −40x1x2 + 25x12 +32x22 +17x32 . Вы-
разите нормальные координаты через исходные.
6. При каких |
значениях параметра a прямые l : |
x |
= |
y |
= |
z |
и |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
|
9a |
9 |
|
||
|
|
x −9 |
|
y −27 |
|
z −(a −6)2 |
|
|
|
||||||
l2 |
: |
= |
= |
параллельны, но не совпадают? |
|||||||||||
6a |
|
54 |
6a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцен-
триситет равен 103 , а расстояние между фокусами равно 2 10 .
8. Выведите формулу изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса.
36
Вариант 6
1.Запишите квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имеет корень 3 + 2i .
2.Решите систему матричных уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X +5Y = |
−30 |
9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
−21 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5X + |
26Y = |
−155 |
47 |
|
|
|||
3. При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
каких |
|
значениях параметра |
|
λ |
ранг матрицы |
||||||||
|
4 |
4 |
|
8 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
8 −λ |
2 |
8 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
равен 4? |
|
|
|
|
|||||
|
8 |
12 |
|
4 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 |
12 |
|
4 |
29 −λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
40 6 −m
4. При каких значениях параметра m матрица A = имеет
16 −24
единственное действительное собственное значение? Найдите это собственное значение.
5. При каких значениях параметра p квадратичная форма
28x x |
+56x x |
−7x2 |
−7x2 |
+ px2 |
является отрицательно определен- |
||
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
|
ной?
6. Найдите каноническое уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC с вершинами A(−2;−5;1) , B(4;−15;4) и
C(−8;25;6) .
7. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой расстояние между фокусами равно 4 17 , а асимптоты имеют уравнения
y = ±14 x .
8. Выведите формулу изменения матрицы квадратичной формы при замене базиса.
37
Вариант 7
1. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
0 0 |
x1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
−3 0 |
|
x |
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 |
|
−2 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −7 15 −9 |
|
x4 |
|
3 |
|
|
G |
|
|
|||||||
2.GПри каких |
Gзначениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
параметра |
λ |
векторы |
a1 |
=(λ;35;7) , |
||||||||||||||||||||||
a2 = (λ;λ;42) , |
a3 = (112;35;49) |
образуют ортогональный базис про- |
||||||||||||||||||||||||
странства R3 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Решите матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−3 4 1 |
|
−6 |
|
|
8 −25 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X = −12 |
|
−2 −17 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 −3 |
|
|
4 |
|
−17 19 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
|
4. Найдите собственные векторы матрицы |
|
|
|
|
−3 |
−9 |
|
|||||||||||||||||||
D = −3 |
, отве- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
12 |
|
чающие собственному значению λ =3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. Линейное преобразование |
f |
пространства R2 |
задано своей матри- |
|||||||||||||||||||||||
цей |
|
|
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = |
3 |
1 |
в стандартном базисе. Найдите матрицу A' преобра- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
зования |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 = (1;−1) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в базисе a1 = (3;1) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. Найдите, |
|
при |
|
каких |
|
|
значениях |
|
параметра |
a |
|
прямая |
||||||||||||||
d : |
|
x1 −1 |
= |
x2 −3 |
|
= |
x3 −1 |
= |
x4 +8 |
|
в |
четырехмерном пространстве |
||||||||||||||
|
|
|
20 + 4a |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
a −2 |
32 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ортогональна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гиперплоскости |
Г: 8x1 + 4x3 + 4x4 (a +5) + x2 (8a +16) = 0.
7.Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой
линейных неравенств:
12x |
−4x |
|
≥ 28 |
||
|
7x1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
+8x2 ≤161 |
|||
|
|
|
−12x2 ≤ −9 |
||
5x1 |
|
||||
|
x |
|
≥ 0, x |
|
≥ 0 |
|
1 |
|
2 |
|
8. Дайте определение эллипса. Выведите каноническое уравнение эллипса.
38
Вариант 8
1. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
|
x −2x + 2x |
+3x |
4 |
|
= −3 |
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x1 + x2 −4x3 −2x4 = 4 |
|
|
|||||||||
|
|
−2x |
+ 2x |
2 |
− x −2x |
4 |
=3 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
2x |
−3x |
+ x |
+ x |
|
= −6 |
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
G |
|
|
2.GДополните |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до ортогонального |
базиса векторы a1 |
= (3;3;1) , |
||||||||||
aG2 = (−1;3;−6) |
и в полученном базисе найдите координаты вектора |
x=(2;−1;2) .
3.Решите матричное уравнение:
|
−1 3 3 |
|
8 |
25 |
5 |
|||
|
−5 −2 |
0 |
|
|
8 |
12 10 |
|
|
|
X = |
|
||||||
|
3 −2 |
4 |
|
|
−4 −8 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
4. Найдите собственные векторы матрицы C4 , если |
|
8 |
10 |
|
C = |
−5 |
−7 |
. |
|
|
|
|
5. |
Решите по формулам Крамера систему линейных уравнений, за- |
||||||||||||||
данную в матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 1 −1 x |
|
|
|
9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 2 1 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−2 −3 1 |
|
|
|
|
−19 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную |
||||||||||||||
форму f (x , x , x ) =18x x |
+6x x |
+14x x |
−9x2 |
−34x2 −21x2 . |
|||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
7. |
Найдите точку A', |
симметричную |
|
точке |
A(1;0;5) |
относительно |
|||||||||
плоскости π : |
x + 2 y −4z −1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
Дайте определение гиперболы. Выведите каноническое уравнение |
||||||||||||||
гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры задач (А) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. (−4;5;1;−4) ; 2. (17;23;−2) ; 3. 8 ; 4. |
−33; 5. −13 |
; 6. |
|
62; 7. а) 3; |
б) 2; |
|
8. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xG = 7aG |
+ 2aG |
|
; |
|
|
9. а) линейно зависима; б) линейно независима; 10. |
x = 2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
= 6 ; |
11. |
|
а) |
x = 5 , |
|
y =13 ; |
б) |
|
x = − |
7 |
, |
y = − |
6 |
; |
|
в) |
|
|
x = y = z =3 ; |
12. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Xбаз = (68;−8;0;0) ; |
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
Xбаз |
= (0;−6;33;0) ; |
|
|
14. |
|
|
|
X1 = (−5;−4;1;0) , |
||||||||||||||||||||||||||||||
X2 = (−2;−4;0;1) ; 15. а) 3; б) 1; |
16. |
x =3 , |
|
y = 4 , |
z = −5 ; |
|
|
17. x =5 , |
y = −3 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = −3 ; |
|
18. |
а) |
3; |
|
б) |
|
4; |
в) |
2; |
г) |
2; д) |
2; |
е) |
|
3; |
19. |
− 4 |
− 2 |
− 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
−8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|||||
|
|
36 −18 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−7 |
−8 |
−13 |
|
|
|||||||||||||||||
20. |
; |
|
|
|
21. |
|
|
|
а) |
|
|
; |
б) |
|
|
|
|
−6 |
−8 |
− 2 |
|
;в) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
24 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−18 18 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
16 |
20 |
16 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11 10 23 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
− 2 |
−1 |
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
; г) |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
; |
22. |
23. |
|
24. |
|
а) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
9 |
−11 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
−1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
35 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
25. 36; 26. а) 54; б) 48; |
|
27. 64; |
28. |
29. |
|||||||||||||||||||||||||
|
; б) |
− 7 |
|
|
35 |
|
|
|
5 |
|
9 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
35 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
+i sin |
2π |
|
30. |
x {−4; 2 ± 2 3 i}; |
31. |
|
z |
3 |
|
=1; 32. |
а) |
10; |
|
б) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = 4 cos |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 ; 33. а) |
2π |
; б) |
|
3π |
; в) |
π ; |
34. |
x2 −6x + 25 = 0 ; 35. а) |
|
λ = −4 , |
λ |
2 |
= 2 ; б) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
λ1 = −3 , λ2 =3 ; в) |
|
|
|
λ1 = 0 , λ2 =1; |
|
г) λ1 = −4 , λ2 = 4 , λ3 =5; д) λ1 = −3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ2 = −2 , |
λ3 = 4 ; е) |
|
|
λ1 = −2 , |
λ2 = 0 , |
λ3 = 3; 36. |
λ1 =1, |
|
λ2 = −8 ; 37. |
λ1 = −1, |
40